Ελάχιστο

Tolaso J Kos · #1

Χωρίς να είμαι σίγουρος ότι είναι ο σωστός φάκελος ...

Να δειχθεί ότι $\min \left\{ \sqrt[m]{n}, \sqrt[n]{m} \right\} \leq \sqrt[3]{3}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Οκτ 11, 2024 7:29 am
Να δειχθεί ότι $\min \left\{ \sqrt[m]{n}, \sqrt[n]{m} \right\} \leq \sqrt[3]{3}$ .

Υποθέτω (αν και δεν χρειάζεται) πως η εκφώνηση εννοεί ότι τα $m,n \in \mathbb N^*$ . Βγαίνει με πολλούς τρόπους αλλά θα κάνω έναν στοιχειώδη.

Δείχνουμε πρώτα επαγωγικά ότι ισχύει $3^m \ge m^3 \,(*)$ . Πράγματι, για m=1,2,3,4

είναι άμεσο. Υποθέτουμε λοιπόν $m\ge 5 \,(**)$ . Για το επαγωγικό βήμα έχουμε

$3^{m+1}= 3\cdot 3^m\ge 3m^3=m^3+ 2m^3 \ge ^{(**)} m^3+10m^2=$

$=m^3+ 3m^2+3m^2+3m^2 \ge ^{m\ge 1} m^3+ 3m^2+3m+1= (m+1)^3$ , όπως θέλαμε.

Τώρα, χωρίς βλάβη $m\le n$ . Αλλά αφού ισχύει $(m\le n) \Leftrightarrow (m^m\le n^n) \Leftrightarrow ( \sqrt[n]{m} \le \sqrt[m]{n})$ , συμπεραίνουμε ότι $\min \left\{ \sqrt[m]{n}, \sqrt[n]{m} \right\} = \sqrt[n]{m}$ . Άρα, πάντα με την υπόθεση $m\le n$ ,

$\min \left\{ \sqrt[m]{n}, \sqrt[n]{m} \right\} = \sqrt[n]{m} \le \sqrt[m]{m}\le ^{(*)} \sqrt[3]{3}$ ,

που είναι το αποδεικτέο.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Οκτ 11, 2024 7:29 am Να δειχθεί ότι $\min \left\{ \sqrt[m]{n}, \sqrt[n]{m} \right\} \leq \sqrt[3]{3}$ .

Αλλιώς, με λίγο Ανάλυση για να αιτιολογηθεί ο φάκελος. Πάντως κάνει για μαθητές, οπότε δεν χρειάζεται να είναι στον φάκελο του Καθηγητή.

Για

ή

είναι άμεσο, οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι $m,n \ge 2$ . Ομοίως για

ή

(έστω το πρώτο) έχουμε

$\sqrt[n]{2} \le \sqrt[2]{2} \le \sqrt[3]{3}$ , οπότε είμαστε εντάξει.

Έστω, λοιπόν $m,n\ge 3$ . Τότε επειδή για $x\ge e$ έχουμε για την παράγωγο $(x^{1/x} ) ' = x^{1/x} \cdot \dfrac {1}{x^2}(1-\ln x) \le 0$ , έπεται ότι στο διάστημα αυτό η $x^{1/x}$ είναι φθίνουσα (*)

. Ειδικά για $n\ge m \ge 3 >e$ έχουμε

$\min \left\{ \sqrt[m]{n}, \sqrt[n]{m} \right\} \le\sqrt[n]{m} \le \sqrt[m]{m} \le ^{(*)} \sqrt[3]{3}$ , που είναι το αποδεικτέο.

Ελάχιστο

Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Re: Ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση