Η τερατώδης και το ωραίο

KARKAR · #1

Υπολογίστε - με επιμονή και προσοχή - την τιμή της παράστασης :

$\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2+\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2$

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 15, 2024 11:49 am Υπολογίστε - με επιμονή και προσοχή - την τιμή της παράστασης :

$\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2+\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 15, 2024 11:49 am Υπολογίστε - με επιμονή και προσοχή - την τιμή της παράστασης :

$\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2+\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2$

Ας την τελειώσουμε (με επιμονή και προσοχή). Έστω A^2

ο πρώτος προσθετέος και B^2

ο δεύτερος.

Είναι, $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 2 + \sqrt 3 = \frac{{{{(\sqrt 3 + 1)}^2}}}{2},2 - \sqrt 3 = \frac{{{{(\sqrt 3 - 1)}^2}}}{2} \hfill \\ \hfill \\ \sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } = \frac{{\sqrt 6 }}{2}(\sqrt 3 + 1),\sqrt 2 - \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \frac{{\sqrt 6 }}{2}(\sqrt 3 - 1) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle {A^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 6 }} + \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} = 2$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle {B^2} = {\left( {\frac{{{{(\sqrt 3 - 1)}^2}}}{{\sqrt 6 (\sqrt 3 + 1)}} + \frac{{{{(\sqrt 3 + 1)}^2}}}{{\sqrt 6 (\sqrt 3 - 1)}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{{(\sqrt 3 - 1)}^3} + {{(\sqrt 3 + 1)}^3}}}{{2\sqrt 6 }}} \right)^2} = {\left( {\frac{{6\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} = 18$

Άρα, $\boxed{A^2+B^2=20}$

Η τερατώδης και το ωραίο

Η τερατώδης και το ωραίο

Re: Η τερατώδης και το ωραίο

Re: Η τερατώδης και το ωραίο

Μέλη σε σύνδεση