Η τερατώδης και το ωραίο

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17557
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η τερατώδης και το ωραίο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR »

Υπολογίστε - με επιμονή και προσοχή - την τιμή της παράστασης :

\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2+\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2

Ετικέτες:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2288
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Η τερατώδης και το ωραίο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 »

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 15, 2024 11:49 am Υπολογίστε - με επιμονή και προσοχή - την τιμή της παράστασης :

\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2+\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2

\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(3+\sqrt{3})

\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(3-\sqrt{3})
κ.λπ. για το άριστα!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14874
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η τερατώδης και το ωραίο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis »

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 15, 2024 11:49 am Υπολογίστε - με επιμονή και προσοχή - την τιμή της παράστασης :

\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2+\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^2
Ας την τελειώσουμε (με επιμονή και προσοχή). Έστω A^2 ο πρώτος προσθετέος και B^2 ο δεύτερος.

Είναι, \displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  2 + \sqrt 3  = \frac{{{{(\sqrt 3  + 1)}^2}}}{2},2 - \sqrt 3  = \frac{{{{(\sqrt 3  - 1)}^2}}}{2} \hfill \\ 
   \hfill \\ 
  \sqrt 2  + \sqrt {2 + \sqrt 3 }  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}(\sqrt 3  + 1),\sqrt 2  - \sqrt {2 - \sqrt 3 }  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}(\sqrt 3  - 1) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

\displaystyle  \bullet \displaystyle {A^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3  + 1}}{{\sqrt 6 }} + \frac{{\sqrt 3  - 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} = 2

\displaystyle  \bullet \displaystyle {B^2} = {\left( {\frac{{{{(\sqrt 3  - 1)}^2}}}{{\sqrt 6 (\sqrt 3  + 1)}} + \frac{{{{(\sqrt 3  + 1)}^2}}}{{\sqrt 6 (\sqrt 3  - 1)}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{{(\sqrt 3  - 1)}^3} + {{(\sqrt 3  + 1)}^3}}}{{2\sqrt 6 }}} \right)^2} = {\left( {\frac{{6\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 }}} \right)^2} = 18

Άρα, \boxed{A^2+B^2=20}
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες