Μικροδιαφορά

KARKAR · #1

: Μικροδιαφορά.png (23.26 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Σε κύκλο

είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο ABC

. Το ύψος

προεκτεινόμενο , τέμνει

τον κύκλο στο σημείο

. Έστω

το μέσο του

. Δείξτε ότι : $BM+MC \geq 2r$ .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω $B^\prime$ το συμμετρικό του

ως προς την

Το $B^\prime$ είναι επίσης σημείο του κύκλου και μάλιστα αντιδιαμετρικό του

οπότε:
$BM+MC=B^\prime M+MC\ge B^\prime C=2r$ $\blacksquare$

Σημείωση
Η παραπάνω τεχνική παρουσιάζεται στην Εφαρμογή 4η στην ενότητα
Ανισοτικές σχέσεις του τρίτου κεφαλαίου του σχολικού βιβλίου της Α' Λυκείου (παράγραφος 3.12)
http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547 ... ndex3.html

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Ένας δεύτερος τρόπος προσέγγισης (εκτός φακέλου) είναι ο εξής:

Θεωρούμε την έλλειψη με εστίες τα σημεία B,C

που διέρχεται από το

Επειδή $OM\parallel BC$ και το

βρίσκεται στη μεσοκαθέτο του τμήματος

το

πρέπει να είναι σημείο του μικρού άξονα $K K^\prime$
οπότε επειδή $KB\ge OB=r$ και $KC\ge OC=r$ έχουμε:

$MB+MC=KB+KC\ge 2r$ $\blacksquare$

KARKAR · #4

Ιάσονα , νάσαι καλά . Η όμορφη δεύτερη λύση σου πιθανόν να μην ταιριάζει στον φάκελο

αλλά φυσικά είναι ευπρόσδεκτη .

: Περαιτέρω σύγκριση.png (22.7 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Στην πραγματικότητα έχουμε δύο κάθετες χορδές AS , BC

με μέσα

. Δείχθηκε ότι :

$BM+MC \geq 2r$ . Όμοια : $AN+NS \geq 2r$ . Και αναφύεται το ερώτημα :

Αν : BC < AS

, ισχύει άραγε και το : BM+MC <AN+NS

;

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 23, 2024 9:00 am
Ιάσονα , νάσαι καλά . Η όμορφη δεύτερη λύση σου πιθανόν να μην ταιριάζει στον φάκελο

αλλά φυσικά είναι ευπρόσδεκτη .

Περαιτέρω σύγκριση.pngΣτην πραγματικότητα έχουμε δύο κάθετες χορδές με μέσα . Δείχθηκε ότι :

$BM+MC \geq 2r$ . Όμοια : $AN+NS \geq 2r$ . Και αναφύεται το ερώτημα :

Αν : , ισχύει άραγε και το : ;

Το ζήτημα του φακέλου για κάποιο λόγο μου διέφυγε εντελώς...

Σε ό,τι αφορά το (ενδιαφέρον) επιπλέον ερώτημα, η προτεινόμενη συνεπαγωγή:

$BC < AS \Rightarrow BM+MC <AN+NS$ $\color{red}(*)$

επαληθεύεται αν χρησιμοποιήσουμε καρτεσιανές συντεταγμένες.
Προς τούτο αρκούν στοιχειώδεις πράξεις των οποίων θα ακολουθήσει αδρή σκιαγράφηση στις επόμενες γραμμές.

Ως κύκλο λαμβάνουμε τον x^2+y^2=1

και θέτουμε M(-c,0)

,

Η αλγεβρική μετάφραση της παραπάνω συνεπαγωγής είναι η εξής:

|c|<|d|<1

$\Rightarrow$

$\sqrt{c^2+1-2c\sqrt{1-d^2}}+\sqrt{c^2+1+2c\sqrt{1-d^2}}<\sqrt{d^2+1-2d\sqrt{1-c^2}}+\sqrt{d^2+1+2d\sqrt{1-c^2}}$

Η απόδειξη της τελευταίας είναι απλούστερη απ' ότι φαίνεται.
Αρκεί να υψώσουμε μια φορά μόνο στο τετράγωνο και με λίγη προσοχή βγαίνει.
Οι πράξεις θα παραλειφθούν και σε αυτό το σημείο η επαλήθευση της $\color{red}(*)$ θα θεωρηθεί πλήρης. $\blacksquare$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Ελπίζω κάποιος να προτείνει μια απόδειξη της $\color{red}(*)$

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 21, 2024 7:34 pm
Μικροδιαφορά.pngΣε κύκλο είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο . Το ύψος προεκτεινόμενο , τέμνει

τον κύκλο στο σημείο . Έστω το μέσο του . Δείξτε ότι : $BM+MC \geq 2r$ .

Εκτός φακέλου.

Αν το

συμπέσει με το

τότε

Σε κάθε άλλη περίπτωση το OMBC

είναι μη εγγράψιμο τραπέζιο και από το θεώρημα Πτολεμαίου θα είναι :

: Μικροδιαφορά.Κ.png (14.24 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

$\displaystyle rMB + aOM > rMC \Leftrightarrow aOM > r(MC - MB)$ (1).

Αλλά, από δεύτερο θεώρημα διαμέσων στο MBC,

$\displaystyle 2aOM = M{C^2} - M{B^2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} (MC - MB)(MC + MB) > 2r(MC - MB) \Leftrightarrow$ $\boxed{MB+MC>2r}$

Μικροδιαφορά

Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Re: Μικροδιαφορά

Μέλη σε σύνδεση