Χωρίς παραγώγους

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Με αφορμή αυτό
viewtopic.php?f=6&t=76650#p370093

Δίνεται $a\in\mathbb{R}$

Να υπολογιστεί χωρίς παραγώγους το όριο $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(x+1)^a-1}{x}$

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: Παρ Νοέμ 01, 2024 3:53 pm Με αφορμή αυτό
viewtopic.php?f=6&t=76650#p370093

Δίνεται $a\in\mathbb{R}$

Να υπολογιστεί χωρίς παραγώγους το όριο $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(x+1)^a-1}{x}$

Ιάσονα, θέλω να ρωτήσω τι επιτρέπεις να χρησιμοποιήσουμε. Π.χ. τα ολοκληρώματα επιτρέπονται; Το ρωτάω γιατί κάπου πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έναν από τους ισοδύναμους ορισμούς της δύναμης αριθμού. Ένας συνηθισμένος τρόπος είναι μέσω του $a^b = e^{b\ln a}$ , όπου τα $\ln a, e^c$ ορίζονται με διάφορους τρόπους, π.χ. ως ολοκληρώματα ή ως δυναμοσειρες. Ποιο επιτρέπεις;

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Νοέμ 01, 2024 7:50 pm
Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: Παρ Νοέμ 01, 2024 3:53 pm Με αφορμή αυτό
viewtopic.php?f=6&t=76650#p370093

Δίνεται $a\in\mathbb{R}$

Να υπολογιστεί χωρίς παραγώγους το όριο $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(x+1)^a-1}{x}$
Ιάσονα, θέλω να ρωτήσω τι επιτρέπεις να χρησιμοποιήσουμε. Π.χ. τα ολοκληρώματα επιτρέπονται; Το ρωτάω γιατί κάπου πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έναν από τους ισοδύναμους ορισμούς της δύναμης αριθμού. Ένας συνηθισμένος τρόπος είναι μέσω του $a^b = e^{b\ln a}$ , όπου τα $\ln a, e^c$ ορίζονται με διάφορους τρόπους, π.χ. ως ολοκληρώματα ή ως δυναμοσειρες. Ποιο επιτρέπεις;

Κύριε Λάμπρου χαίρετε,

για ορισμό της δύναμης είχα κατά νου τον ακόλουθο στοιχειώδη:

Για $a,x\in\mathbb{R}_+$ και $n\in\mathbb{N}$ , $m\in\mathbb{N}^*$
$\bullet$ a^0=1

και $a^{n+1} = a^n \cdot a$
$\bullet$ $a^{\frac{1}{m}}=\sup\{x\in\mathbb{R}| 0\le x \wedge x^m<a\}$ και $a^{\frac{n}{m}}=(a^{\frac{1}{m}})^n$
$\bullet$ $a^x = \sup \{a^q| q \in \mathbb{Q} \wedge 0\le q<x\}$
$\bullet$ $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$

Για τις ιδιότητες της δύναμης που θεωρούνται δεδομένες μπορεί κανείς να ρίξει και μια ματιά εδώ:
viewtopic.php?f=61&t=76248#p368354

Παρ' όλα αυτά, κάθε προσέγγιση που κατά την κρίση σας έχει ενδιαφέρον, είναι ευπρόσδεκτη!

Χωρίς παραγώγους

Χωρίς παραγώγους

Re: Χωρίς παραγώγους

Re: Χωρίς παραγώγους

Μέλη σε σύνδεση