Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν

KARKAR · #1

: Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν.png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές

Το

είναι σημείο της ακτίνας

ενός ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2R

. Γράφουμε στο εσωτερικό

αυτού του ημικυκλίου , νέο ημικύκλιο διαμέτρου SB=2r

. Μπορούμε να σχεδιάσουμε κύκλο $(K , \rho)$ ,

ο οποίος να εφάπτεται των δύο ημικυκλίων και της

; Μάλιστα ζητάμε τη θέση του

, για την οποία

το μικρό ημικύκλιο να είναι ισεμβαδικό του κύκλου .

Το καλό νέο : επιτρέπεται η χρήση λογισμικού

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 06, 2024 9:28 pm
Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν.png Το είναι σημείο της ακτίνας ενός ημικυκλίου διαμέτρου . Γράφουμε στο εσωτερικό

αυτού του ημικυκλίου , νέο ημικύκλιο διαμέτρου . Μπορούμε να σχεδιάσουμε κύκλο $(K , \rho)$ ,

ο οποίος να εφάπτεται των δύο ημικυκλίων και της ; Μάλιστα ζητάμε τη θέση του , για την οποία

το μικρό ημικύκλιο να είναι ισεμβαδικό του κύκλου . Το καλό νέο : επιτρέπεται η χρήση λογισμικού

Ζητώ να κατασκευάσω κύκλο που να διέρχεται από το «σταθερό» σημείο

, να εφάπτεται σε ευθεία

παράλληλη στην

σε απόσταση

r = QB

απ’ αυτή και να εφάπτεται ακόμα στον κύκλο $\left( {O,R + r} \right)$ ( πρόβλημα $\left( {\Sigma ,{\rm E},{\rm K}} \right)$ .

Αντιστρέφω τον κύκλο $\left( {O,R + r} \right)$ και την προαναφερθείσα ευθεία

με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής ${k^2} = Q{T^2}$ .

: Δεινόν πρός το κέντρο λακτίζειν1.png (35.41 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Προκύπτουν δυο κύκλοι ( πάντα αφού είναι , $r \ne 0$ ). Βρίσκω τις κοινές εφαπτόμενες αυτών των κύκλων ( εδώ είναι δυο εξωτερικές)

Τις αντιστρέφω με πόλο, πάλι,

και δύναμη ${k^2}$ και έχω δύο κύκλους . Του αριστερού κύκλου το κέντρο είναι το

.

Θα πρέπει για να έχω τη ζητούμενη ισεμβαδικότητα , $\boxed{r = \rho \sqrt 2 }$ .

Αργότερα ίσως δοθούν περισσότερες διευκρινήσεις και δυναμικό αρχείο Geogebra

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 06, 2024 9:28 pm
Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν.png Το είναι σημείο της ακτίνας ενός ημικυκλίου διαμέτρου . Γράφουμε στο εσωτερικό

αυτού του ημικυκλίου , νέο ημικύκλιο διαμέτρου . Μπορούμε να σχεδιάσουμε κύκλο $(K , \rho)$ ,

ο οποίος να εφάπτεται των δύο ημικυκλίων και της ; Μάλιστα ζητάμε τη θέση του , για την οποία

το μικρό ημικύκλιο να είναι ισεμβαδικό του κύκλου . Το καλό νέο : επιτρέπεται η χρήση λογισμικού

Προς στιγμήν νόμιζα ότι βρέθηκα σε φιλολογικό σάιτ

Μια στοιχειώδης λύση. Έστω

η προβολή του

στη διάμετρο,

η ακτίνα του κύκλου και AT=y.

Είναι ακόμα

OK=R-x, QK=r+x, OT=R-y

και

Παίρνω Πυθαγόρειο στα τρίγωνα

KTO, KTQ

και λύνοντας το σύστημα (πράξεις ρουτίνας), βρίσκω:

: Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν.Κ.png (19.64 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

$\boxed{y = \frac{{2R(R - r)}}{{R + r}}}$ και $\boxed{x = \frac{{4Rr(R - r)}}{{{{(R + r)}^2}}}}$ Με γνωστά τα x, y

η κατασκευή είναι απλή.

Για το δεύτερο ερώτημα είναι $\displaystyle x = \frac{{r\sqrt 2 }}{2} = \frac{{4Rr(R - r)}}{{{{(R + r)}^2}}}$ απ' όπου προκύπτει δευτεροβάθμια

εξίσωση και τελικά $\boxed{\frac{R}{r} = \frac{{4 + \sqrt 2 + 4\sqrt {1 + \sqrt 2 } }}{{8 - \sqrt 2 }}}$ Πουθενά δεν χρειάστηκα λογισμικό.

$\displaystyle \bullet$ Μία ακέραιη λύση για το αρχικό ερώτημα είναι R=40, r=24, y=20, x=15.

KARKAR · #4

Γιώργο , εντυπωσιακή - τουλάχιστον - η ακέραια λύση σου

. Όσο για το λογισμικό : Αν δοθεί η

,

τότε : $r=\dfrac{8-\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}+4\sqrt{1+\sqrt{2}}}R$ . Τώρα για λόγους κυρίως αισθητικούς :

$r=\left(2(\sqrt{2+2\sqrt{2}}-\sqrt{2})-1\right)R$ ( ποιος θα κάνει την μετατροπή χωρίς λογισμικό

)

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 06, 2024 9:28 pm
Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν.png Το είναι σημείο της ακτίνας ενός ημικυκλίου διαμέτρου . Γράφουμε στο εσωτερικό

αυτού του ημικυκλίου , νέο ημικύκλιο διαμέτρου . Μπορούμε να σχεδιάσουμε κύκλο $(K , \rho)$ ,

ο οποίος να εφάπτεται των δύο ημικυκλίων και της ; Μάλιστα ζητάμε τη θέση του , για την οποία

το μικρό ημικύκλιο να είναι ισεμβαδικό του κύκλου . Το καλό νέο : επιτρέπεται η χρήση λογισμικού

Υπολογισμοί ( με βάση την κατασκευή)

: Δεινόν πρός το κέντρο λακτίζειν_Υπολογισμοί_new.png (22.79 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές

Θέτω : $\boxed{OS = x\,\,,\,R = a\,\,,\,\,r = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\rho = k}$ . Προφανώς , $b = \dfrac{{a + x}}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k = \dfrac{b}{{\sqrt 2 }}\,\,\,\left( * \right)$ . Από τα Π. Θ. στα $\vartriangle TQK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle TOC$

Προκύπτουν : ${\left( {b + k} \right)^2} = {k^2} + {\left( {b + y} \right)^2}\,\,\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{k^2} + {\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {a - k} \right)^2}\,\,\left( 2 \right)$ . Οι σχέσεις $\left( * \right)$ αν τεθούν στις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)\,\,$ δίδουν:

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} + 2\left( {a - \sqrt 2 y} \right)x - 2\sqrt 2 {y^2} - 2\sqrt 2 ay + {a^2} = 0 \hfill \\ \sqrt 2 {x^2} + \left( {2\sqrt 2 y + a} \right)x + \sqrt 2 {y^2} + {a^2}\left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\left( \Sigma \right).$ Το σύστημα $\left( \Sigma \right)$ με το

θετική παράμετρο μας δίδει τις τιμές των $x\,\,,\,\,y$ .

Π.χ. με a = 8

προκύπτουν : $\left\{ \begin{gathered} x = \sqrt {2048\sqrt 2 + 2048} - 32\sqrt 2 - 24 \simeq 1,060949 \hfill \\ y = - \sqrt {2624\sqrt 2 + 3136} + 32\sqrt 2 + 40 \simeq 2,5088589 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Παρατήρηση ,

Στο πρώτο ερώτημα ( το χωρίς ισεμβαδικότητα ) αν επιλέξω τα

και

( στο σχήμα) θετικούς ακεραίους με

a > x

προσδιορίζουμε άπειρα αποτελέσματα που το $\rho$ είναι ακέραιος .

Αν και ο Γιώργος πιστεύω , υπολόγισε τα νούμερά του με άλλο τρόπο δείτε πως προκύπτουν από την ημετέρα κατασκευή.

: Δεινόν πρός το κέντρο λακτίζειν_ακέραιοι_George.png (43.03 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές

Επέλεξα $R = 5\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = 1$ μου προέκυψε $r = 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\rho = 1,875 = \dfrac{{15}}{8}$ αν πολλαπλασιάσω με

προκύπτουν:

$R = 40\,\,,\,\,x = 8\,\,\,,r = 24\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\rho = 15$ είναι οι πιο μικροί ακέραιοι . τα πολλαπλάσια αυτών δίδουν προφανώς πάλι ακέραιους.

Υπάρχουν και άλλα όμως Όπως στα σχήματα που παραθέτω .

: lakt1.png (37.34 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές

: lakt2.png (36.59 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές

mathematica.gr

Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν

Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν

Re: Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν

Re: Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν

Re: Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν

Re: Δεινόν προς κέντρα λακτίζειν

Μέλη σε σύνδεση