Γωνιολογικό δέντρο

KARKAR · #1

: Γωνιολογικό δέντρο.png (10.05 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

: α) Δείξτε ότι : $\hat{A}<60^\circ$

β) Ποια διαφορά είναι μεγαλύτερη : Η : $\hat{B}-\hat{A}$ , ή η : $\hat{A}-\hat{C}$ ;

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 19, 2024 8:17 am Γωνιολογικό δέντρο.pngΣτο τρίγωνο , με : : α) Δείξτε ότι : $\hat{A}<60^\circ$

β) Ποια διαφορά είναι μεγαλύτερη : Η : $\hat{B}-\hat{A}$ , ή η : $\hat{A}-\hat{C}$ ;

Ο ν.συνημιτόνου δίνει $cosA= \dfrac{a^2+2}{2(a^2-1)}> \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle A<60^0$ αφόύ η f(x)=cosx

είναι γνήσια φθίνουσα στο $( 0, \pi)$

Αν BD,CE

διχοτόμοι ,τότε $\angle \theta =90^0+ \dfrac{A}{2}<120^0 \Rightarrow \angle \dfrac{B+C}{2}>60^0> A \Rightarrow \angle B-A> \angle A-C$

: γωνιολογικό δένδρο.png (7.46 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 19, 2024 8:17 am Γωνιολογικό δέντρο.pngΣτο τρίγωνο , με : : α) Δείξτε ότι : $\hat{A}<60^\circ$

β) Ποια διαφορά είναι μεγαλύτερη : Η : $\hat{B}-\hat{A}$ , ή η : $\hat{A}-\hat{C}$ ;

α) Εμβαδόν τριγώνου με δύο τρόπους:

$\displaystyle \frac{1}{2}({a^2} - 1)\sin A = \sqrt {\frac{{3a}}{2} \cdot \frac{a}{2}\left( {\frac{{a - 2}}{2}} \right)\left( {\frac{{a + 2}}{2}} \right)} \Leftrightarrow \frac{1}{4}{({a^2} - 1)^2}{\sin ^2}A = \frac{{3{a^2}({a^2} - 4)}}{{16}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {\sin ^2}A = \frac{{3{a^2}({a^2} - 4)}}{{4{{({a^2} - 1)}^2}}} < \frac{3}{4}$ κι επειδή η $\widehat A$ είναι οξεία, $\displaystyle \sin A < \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow$ $\boxed{\widehat A<60^o}$

β) $\displaystyle 3\widehat A < 180^\circ \Leftrightarrow 2\widehat A < 180^\circ - \widehat A = \widehat B + \widehat C \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat A - \widehat C < \widehat B - \widehat A}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 19, 2024 8:17 am Γωνιολογικό δέντρο.pngΣτο τρίγωνο , με : : α) Δείξτε ότι : $\hat{A}<60^\circ$

β) Ποια διαφορά είναι μεγαλύτερη : Η : $\hat{B}-\hat{A}$ , ή η : $\hat{A}-\hat{C}$ ;

, διχοτόμοι και BL,CM

ύψη.

Από γνωστή πρόταση $\hat{NCM}=\varphi =\dfrac{B-A}{2},\hat{LBH}=\omega =\dfrac{A-C}{2}$

$\hat{A}< 60\Leftrightarrow \dfrac{3A}{2}< 90\Leftrightarrow 90-\dfrac{A}{2}> A\Leftrightarrow \dfrac{B+C}{2}> A\Leftrightarrow B+\dfrac{C}{2}> A+\dfrac{B}{2} (*)$

$B+\dfrac{C}{2}=180-\hat{BNC}=90+\varphi ,A+\dfrac{B}{2}=90+\omega .(**) (*),(**)\Rightarrow \varphi > \omega \Leftrightarrow \hat{B}-\hat{A} > \hat{A}-\hat{C}$

KARKAR · #5

Για το β) μπορούμε κι έτσι : $\hat{B}-\hat{A}>\hat{A}-\hat{C}\Leftrightarrow \hat{B}+\hat{C}>2\hat{A}>\Leftrightarrow$

$\hat{B}+\hat{C}+\hat{A}> 3\hat{A}\Leftrightarrow180^\circ >3\hat{A}\Leftrightarrow\hat{A}<60^{\circ}$ , το οποίο ισχύει από α) .

#6

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 20, 2024 9:34 am Για το β) μπορούμε κι έτσι : $\hat{B}-\hat{A}>\hat{A}-\hat{C}\Leftrightarrow \hat{B}+\hat{C}>2\hat{A}>\Leftrightarrow$

$\hat{B}+\hat{C}+\hat{A}> 3\hat{A}\Leftrightarrow180^\circ >3\hat{A}\Leftrightarrow\hat{A}<60^{\circ}$ , το οποίο ισχύει από α) .

Το ίδιο έχω γράψει κι εγώ Θανάση.

Γωνιολογικό δέντρο

Γωνιολογικό δέντρο

Re: Γωνιολογικό δέντρο

Re: Γωνιολογικό δέντρο

Re: Γωνιολογικό δέντρο

Re: Γωνιολογικό δέντρο

Re: Γωνιολογικό δέντρο

Μέλη σε σύνδεση