Μεγαλοδύναμη

KARKAR · #1

Αν : $x+\dfrac{1}{x}=5$ , υπολογίστε το : $x^5+\dfrac{1}{x^5}$ .

Tolaso J Kos · #2

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 26, 2024 11:53 am Αν : $x+\dfrac{1}{x}=5$ , υπολογίστε το : $x^5+\dfrac{1}{x^5}$ .

Χαλό Θανάση,

$\displaystyle{\begin{aligned} x^5 + \frac{1}{x^5} & = \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right) - \left( x + \frac{1}{x} \right) \\ & = \left[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 -2 \right] \left[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) \right] - \left( x + \frac{1}{x} \right) \\ & = \left( 5^2 -2 \right) \left( 5^3 -3 \cdot 5 \right) - 5 \\ & = 2525 \end{aligned}}$

#3

Καλησπέρα σε όλους. Κάπως διαφορετικά:

$\displaystyle {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 2 = {5^2} - 2 = 23$

$\displaystyle{x^4} + \frac{1}{{{x^4}}} = {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 2 = {23^2} - 2 = 527$

$\displaystyle{x^5} + \frac{1}{{{x^5}}} = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)\left( {{x^4} - {x^3} \cdot \frac{1}{x} + {x^2} \cdot \frac{1}{{{x^2}}} - x \cdot \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)$

$\displaystyle = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)\left( {{x^4} + \frac{1}{{{x^4}}} - \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 1} \right) = 5\left( {527 - 23 + 1} \right) = 5 \cdot 505 = 2525$

Πηγή έμπνευσης του Θανάση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KARKAR · #4

Ναι αλλά η δεύτερη εκδοχή ... εδώ

Μεγαλοδύναμη

Μεγαλοδύναμη

Re: Μεγαλοδύναμη

Re: Μεγαλοδύναμη

Re: Μεγαλοδύναμη

Μέλη σε σύνδεση