Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 1999

#1

: 1999.PNG (59.63 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

mick7 · #2

2 ii)
AG-GM
$a + b + c + ab + bc + ca \geq 6\sqrt[6]{a^3 b^3 c^3} = 6\sqrt{abc}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Ας δούμε το i) από το Πρόβλημα 2.

Για τους θετικούς x,y

μπορεί να γραφεί ότι

$\displaystyle \left( x+y \right)^{2}\ge 4xy \Leftrightarrow \frac{x+y}{4}\ge \frac{xy}{x+y}\Leftrightarrow -\frac{xy}{x+y}\ge-\frac{x+y}{4}$

Συνεπώς μπορεί να γραφεί ότι

$\displaystyle \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}-\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}-\frac{\beta\gamma}{\beta+\gamma}-\frac{\gamma\alpha}{\gamma+\alpha}\ge \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}-\frac{\alpha+\beta}{4}-\frac{\beta+\gamma}{4}-\frac{\gamma+\alpha}{4}$

Eύκολα μπορεί να διαπιστώσει κάποιος ότι

$\displaystyle \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}-\frac{\alpha+\beta}{4}-\frac{\beta+\gamma}{4}-\frac{\gamma+\alpha}{4}=0$

Η ανισότητα αποδείχθηκε.

mick7 · #4

Για το 3)

Έχουμε ότι 200a+11b+11c=1990+x.

για

Συνεπώς

#5

mick7 έγραψε: Τρί Δεκ 17, 2024 9:57 pm Για το 3)

Έχουμε ότι

για

Συνεπώς

Ωραιότατα αλλά τo επιχείρημα με το max θέλει κάποια προσθήκη: Δεν φτάνει να πούμε ότι το max είναι $\ge 1990$ αλλά πρέπει επίσης να τεκμηριώσουμε ότι δεν υπάρχουν και άλλες τιμές των a,b,c

που κάνουν το 200a+11b+11c

μεγαλύτερο ή ίσο του 1990

. Εύκολα βλέπουμε ότι, πράγματι, δεν υπάρχουν τέτοιες τιμές και το θέμα διορθώνεται χωρίς κόπο. Όμως χωρίς κάποιο επιχείρημα, ο συλλογισμός έχει κενό.

Για λόγους πληρότητας, και για όφελος των μικρών μας μαθητών, γράφω πλήρη λύση. Είναι σκόπιμα λίγο διαφορετική από την παραπάνω.

Έχουμε $1990 \le 1990 +x= 200a+11b+11c \le 200a + 11\times 9 +11\times 9 = 200a+198$ . Άρα $200a \ge 1990-198 = 1792$ . Άρα a>8

, συνεπώς

. Τώρα η σχέση γίνεται $1800 + 11b+11c = 1990+x \ge 1990$ . Άρα $11(b+c) \ge 190$ , οπότε b+c>17

, δηλαδή

, που δίνει b=c=9

. Τέλος, η δοθείσα τώρα γράφεται 1998 = 1990+x

, και άρα

.

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 1999

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 1999

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 1999

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 1999

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 1999

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 1999

Μέλη σε σύνδεση