Ελάχιστο παράστασης

KARKAR · #1

Αν :

, βρείτε τον πραγματικό

, ώστε η παράσταση :

A=x^2+y^2+kxy

, να έχει ελάχιστη τιμή : $A_{min}=8$ .

#2

Καλημέρα σε όλους.

Είναι $\displaystyle A = {x^2} + {\left( {8 - x} \right)^2} + kx\left( {8 - x} \right) = \left( {2 - k} \right){x^2} - 8\left( {2 - k} \right)x + 64$ , με παράμετρο $\displaystyle k \in R$ .

Αν $\displaystyle k = 2$ , τότε $\displaystyle A = 64$ .

Για $\displaystyle k \ne 2$ είναι $\displaystyle A \ge 8 \Leftrightarrow \left( {2 - k} \right){x^2} - 8\left( {2 - k} \right)x + 56 \ge 0$ . (1)

$\displaystyle D = 64{\left( {2 - k} \right)^2} - 224\left( {2 - k} \right) = \left( {k - 2} \right)\left( {64k + 96} \right)$ .

Για να ισχύει η (1) για κάθε $\displaystyle x \in R$ πρέπει και αρκεί $\displaystyle D \le 0\;\; \wedge \;\;2 - k > 0 \Leftrightarrow 2> k \ge - \frac{3}{2}$ .

Για $\displaystyle k = - \frac{3}{2}$ ισχύει η ισότητα. Τότε x=y=4

.

edit: Μόνον αν ξυπνήσεις πρωί-πρωί υπάρχει περίπτωση να προλάβεις τον Γιώργο!

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2024 8:15 am
Αν : , βρείτε τον πραγματικό , ώστε η παράσταση :

, να έχει ελάχιστη τιμή : $A_{min}=8$ .

Με αντικατάσταση y=8-x

έχω $\displaystyle A = (2 - k){x^2} - 8(2 - k)x + 64, k<2.$

Η ελάχιστη τιμή επιτυγχάνεται όταν x=4

και $\displaystyle {A_{\min }} = 8 \Leftrightarrow - \frac{\Delta }{{4a}} = 8 \Leftrightarrow \frac{{64(2 - k)(k + 2)}}{{4(2 - k)}} = 8 \Leftrightarrow$ $\boxed{k=-\frac{3}{2}}$

Με πρόλαβε ο Γιώργος (Καλημέρα). Το αφήνω.

#4

Θα ήθελα τη γνώμη σας για την παρακάτω προσέγγιση:

Αν για τους μεταβλητούς αριθμούς x, y

ισχύει

, τότε το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν είναι ίσοι (αν μπορεί να γίνουν ίσοι), άρα το γινόμενο kxy

για κάθε $k \in R, k<0$ γίνεται ελάχιστο όταν είναι ίσοι ή αντίστοιχα μέγιστο όταν k > 0

, με τιμή

.

Επίσης η παράσταση x^2+y^2

παίρνει ελάχιστο, όταν είναι ίσοι (αν μπορεί να γίνουν ίσοι).

Πράγματι, για x+y=8

είναι $\displaystyle {x^2} + {y^2} = 2{x^2} - 16x + 64$ με ελάχιστο $\displaystyle - \frac{D}{{4a}} = \frac{{256}}{8} = 32$ , όταν x=y=4

.

Έτσι η παράσταση $A = {x^2} + {y^2} + kxy$ για x=y=4

παίρνει την τιμή A= 32+16k

.

Είναι $\displaystyle 32 + 16k = 8 \Leftrightarrow k = - \frac{3}{2}$ , που είναι το ελάχιστό της, για αυτήν την τιμή του

.

Ελάχιστο παράστασης

Ελάχιστο παράστασης

Re: Ελάχιστο παράστασης

Re: Ελάχιστο παράστασης

Re: Ελάχιστο παράστασης

Μέλη σε σύνδεση