Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2013

#1

: 2013.PNG (158.81 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές

#2

Πρόβλημα 1.

Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{ \left (x+ \dfrac {2}{y} \right ) \left (y+ \dfrac {2}{x} \right ) \ge 2\sqrt {\dfrac {2x}{y} }\cdot 2\sqrt {\dfrac {2y}{x} }=8}$

με ισότητα όταν $x=y=\sqrt 2$ .

#3

Σχετική συζήτηση:

viewtopic.php?f=58&t=36693

#4

Πρόβλημα 3.

Η δοθείσα γράφεται $y-1 = \frac {(x-2)p}{x} = p -\dfrac {2p}{x}$ . Στους θετικούς ακεραίους, και επειδή ο

πρέπει να διαιρεί έναν από τους

ή

και άρα είναι ένας από τους $x=1, \, 2, \, p$ , βρίσκουμε τις εκδοχές

α) y-1= p-2p=-p

(απορρίπτεται) ή

β) y-1= p-p=0

που δίνει τo ζεύγος x=2, y=1

με αντίστοιχο

οποιονδήποτε πρώτο, ή

γ) y-1= p-2

που δίνει τo ζεύγος x=p, y=p-1

(είναι η ίδια με την προηγούμενη στην περίπτωση που τύχει να είναι p=2

.

Tέλος 21=x+y = p+(p-1)

, άρα

(δεκτή).

#5

socrates έγραψε: Παρ Δεκ 27, 2024 11:41 am Σχετική συζήτηση:

viewtopic.php?f=58&t=36693

Το λινκ μπήκε όσο έγραφα (μάλιστα σίγουρα μετά την απάντησή μου στο Πρόβλημα 1). Οπότε οι λύσεις ήδη υπάρχουν...

Τα αφήνω για τον κόπο.

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2013

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2013

Μέλη σε σύνδεση