Γωνία διανυσμάτων

pito · #1

Καλησπέρα

.Καλή και δημιουργική χρονιά σε όλα τα μέλη !
Έστω το $\vec{j}=(0,1)$ και το διάνυσμα $\vec{b}$ που δεν είναι μηδενικό και δεν είναι και κάθετο στο μοναδιαίο διάνυσμα του y'y.

.

Αν η εξίσωση $(\vec{j}\vec{b})x^2+(|\vec{b}|-1)x-9/8=0$ έχει μία διπλή ρίζα να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων $\vec{j},\vec{b}$

Christos.N · #2

Επαναφορά, μπορεί να βρεθεί η γωνία;

#3

Christos.N έγραψε: Τετ Ιαν 15, 2025 12:47 pm Επαναφορά, μπορεί να βρεθεί η γωνία;

Μυρτώ και Χρήστο, πιστεύω ότι η άσκηση είναι προβληματική.

Έχω έναν κάπως εκτενή συλλογισμό ότι η γωνία μπορεί να είναι οποιαδήποτε στο διάστημα από 90^o

έως

. Επειδή για την πλήρη απάντηση χρειάζεται γράφημα και αρκετή πληκτρολόγηση, προτίμησα να μην την καταγράψω. Ζητώ συγνώμη γι' αυτό αλλά αυτό τον καιρό έχω πάρα πολύ φόρτο εργασίας καθώς προετοιμάζω τον ετήσιο διαγωνισμό που οργανώνω.

Θα ξανακοιτάξω τα χαρτιά μου, που πιστεύω ότι τα έχω κρατήσει, για να βεβαιωθώ για τις λεπτομέρειες. Θα χαρώ αν εν τω μεταξύ απαντήσει άλλος, επιβεβαιώνοντας αυτά που γράφω (από μνήμης).

Christos.N · #4

Νομίζω ότι το συνημίτονο δεν είναι σαφές για να απαντήσει κάποιος ποια γωνία είναι ακριβώς χωρίς κάποια ψηφιακή βοήθεια.

#5

Christos.N έγραψε: Τετ Ιαν 15, 2025 4:56 pm Νομίζω ότι το συνημίτονο δεν είναι σαφές για να απαντήσει κάποιος ποια γωνία είναι ακριβώς χωρίς κάποια ψηφιακή βοήθεια.

Χρήστο, δεν είναι εκεί το πρόβλημα: Μία απάντηση της μορφής "arccos" (τόξο συνημιτόνου) είναι αποδεκτή.

KARKAR · #6

: διάνυσμα.png (88.73 KiB) Προβλήθηκε 2617 φορές

Υποθέτω ότι το μπλε διάνυσμα ήταν αυτό που χρησιμοποίησε η θεματοδότρια .

#7

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 15, 2025 10:05 pm Υποθέτω ότι το μπλε διάνυσμα ήταν αυτό που χρησιμοποίησε η θεματοδότρια .

Θανάση, δεν προκύπτει από πουθενά αυτό. Για παράδειγμα το διάνυσμα $b=\left ( \dfrac {1}{2} \sqrt {18+12\sqrt 2}, \, -1\right )$ επίσης ικανοποιεί τις συνθήκες. Έλεγχος:

$|b|^2 = \dfrac {18+12\sqrt 2}{4} +1^2 = \dfrac {22+12\sqrt 2}{4} = \left ( \dfrac {3\sqrt 2 +2}{2} \right ) ^2$ , οπότε

$|b|= \dfrac {3\sqrt 2 +2}{2}$ και άρα $|b|-1= \dfrac {3\sqrt 2 }{2}$ . Επίσης είναι $j\cdot b =-1$ .

Aν βάλουμε αυτές τις τιμές στην δοθείσα εξίσωση, γίνεται

$-x^2 + \dfrac {3\sqrt 2 }{2} x-\dfrac {9}{8} =0$ που έχει διακρίνουσα

, όπως θέλαμε.

Οπότε δεν βλέπω πώς θα βρούμε την γωνία. 'Οπως άλλωστε ανέφερα στο ποστ #3, μπορώ να βρω

που ικανοποιεί τις συνθήκες αλλά το οποίο δίνει οποιαδήποτε γωνία από 90^o

έως

. Το παραπάνω είναι μικρό δείγμα.

KARKAR · #8

Ας γράψουμε δυο λόγια

Η εξίσωση $(\vec{j}\vec{b})x^2+(|\vec{b}|-1)x-9/8=0$ , γράφεται : $-8(\vec{j}\vec{b})x^2-8(|\vec{b}|-1)x+9=0$ .

Αν : $\vec{b}=(k,m)$ , τότε: $\vec{j}\vec{b}=m$ και : $|\vec{b}|-1=\sqrt{k^2+m^2}-1$ .

Η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα αν : $(\sqrt{k^2+m^2}-1)^2=-\dfrac{9m}{2}$ . Προφανώς : m<0

.

Για

, παίρνουμε την περίπτωση που αναφέρει ο Μιχάλης . Για : m=-2

, όμως παίρνουμε

την περίπτωση που ανέφερα , στην οποία βγαίνει γωνία που μπορεί να υπολογισθεί χωρίς λογισμικό .

Λογικά λοιπόν μπορεί να υποθέσει κανείς , ότι ίσως αυτό το διάνυσμα είχε στο μυαλό της η θεματοδότρια .

Αυτό φυσικά δεν σημαίνει ότι η άσκηση μπορεί να λυθεί χωρίς κάποια τροποποίηση στα δεδομένα ...

#9

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 16, 2025 10:20 am Ας γράψουμε δυο λόγια

Η εξίσωση $(\vec{j}\vec{b})x^2+(|\vec{b}|-1)x-9/8=0$ , γράφεται : $-8(\vec{j}\vec{b})x^2-8(|\vec{b}|-1)x+9=0$ .

Αν : $\vec{b}=(k,m)$ , τότε: $\vec{j}\vec{b}=m$ και : $|\vec{b}|-1=\sqrt{k^2+m^2}-1$ .

Η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα αν : $(\sqrt{k^2+m^2}-1)^2=-\dfrac{9m}{2}$ . Προφανώς : .

Για , παίρνουμε την περίπτωση που αναφέρει ο Μιχάλης . Για : , όμως παίρνουμε

την περίπτωση που ανέφερα , στην οποία βγαίνει γωνία που μπορεί να υπολογισθεί χωρίς λογισμικό .

Λογικά λοιπόν μπορεί να υποθέσει κανείς , ότι ίσως αυτό το διάνυσμα είχε στο μυαλό της η θεματοδότρια .

Αυτό φυσικά δεν σημαίνει ότι η άσκηση μπορεί να λυθεί χωρίς κάποια τροποποίηση στα δεδομένα ...

Θανάση, σωστά, έτσι σκέφθηκα στο πρώτο σκέλος της λύσης μου για να βρω μία παράσταση για την γωνία. Μετά, με χρήση του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών στην εν λόγω παράσταση, μπορούμε να δούμε ότι η ζητούμενη γωνία μπορεί να πάρει ένα άπειρο φάσμα τιμών. Το λέω αυτό, όχι για να δείξω ότι η άσκηση χρειάζεται κάποια προσθήκη ή διόρθωση κάποιου τυπογραφικού, αλλά για να επισημάνω ότι υπάρχουν και άλλες περιπτώσεις που δίνουν απλή γωνία, που υπολογίζεται χωρίς λογισμικό. Η 120^ o

που γράφεις είναι μία καλή τέτοια γωνία, ίσως η "πιο καλή".

KARKAR · #10

Μια άλλη υπόθεση είναι να μην ζητείται η ακριβής τιμή της γωνίας αλλά ο χαρακτηρισμός της ως :

οξεία ή ορθή ή αμβλεία . Σύμφωνα με τα παραπάνω η γωνία είναι αμβλεία , αφού : $\cos\theta<0$ .

#11

pito έγραψε: Πέμ Ιαν 02, 2025 11:48 am Καλησπέρα .Καλή και δημιουργική χρονιά σε όλα τα μέλη !
Έστω το $\vec{j}=(0,1)$ και το διάνυσμα $\vec{b}$ που δεν είναι μηδενικό και δεν είναι και κάθετο στο μοναδιαίο διάνυσμα του .

Αν η εξίσωση $(\vec{j}\vec{b}) x^2+(|\vec{b}|-1)x-9/8=0$ έχει μία διπλή ρίζα να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων $\vec{j},\vec{b}$

Καλησπέρα...

Μας δίνεται η εξίσωση:

$(\vec{j} \cdot\vec{b}) x^2+(|\vec{b}|-1)x-9/8=0 \ \ (1)$

Έχοοντας ως δεδομένο τα ανωτέρω και από την εξίσωση που μας δίνεται, μηδενίζοντας τη διακρίνουσα, έχουμε:

$\displaystyle{cos(\phi)=-\frac{2}{9} \cdot \frac{(\overrightarrow{|b|}-1)^2}{\overrightarrow{|b|}} \ \ (2)}$

Ζητούμε να λύσουμε την (2) ξέροντας ότι το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow {b}}$ είναι μή μηδενικό και όχι κάθετο στο $\displaystyle{\overrightarrow{(0,1)}}$ .

Η θεμελιώδης τριγωνομετρική εξίσωση (2) λύνεται απαιτώντας:

$\displaystyle{ |cos(\phi})|\leq 1 \ \ (3)}$

Συνεχίζοντας τη λύση αυτής κατά τα γνωστά επιλύουμε δυο δευτεροβάθμιες ανισώσεις ως προς τη μεταβλητή $\displaystyle{|\vec{b}|}$ , οι οποίες

δίνουν μετά από πράξεις τη λύση:

$\displaystyle{ S=(\frac{13-3\sqrt{17}}{4}, \ \ \frac{13+3 \sqrt{17}}{4} )\ \ (4) }$

Επειδή στο διάστημα αυτό ανήκει και η μονάδα, την αφαιρούμε γιατί θέλουμε η γωνία που ζητούμε να μην είναι μην είναι ορθή.

Έτσι το διάστημα στο οποίο κινείται το $\displaystyle{|\vec{b}|}$ είναι:

$\displaystyle{ S_1=(\frac{13-3\sqrt{17}}{4}, \ \ \frac{13+3 \sqrt{17}}{4} ) -\{1\}\ \ (5) }$

Στη συνέχεια παριστώ τη συνάρτηση:

$\displaystyle{ f(|\vec{b}|)=-\frac{2}{9} \cdot \frac{(|\vec{b}|-1)^2}{|\vec{b}|} \ \ (6) }$

Κατόπιν αυτου ψηφιακά βρίσκουμε το γράφημα της συνάρτησης:

$\displaystyle{p(x)=cos^{-1}(f(|\vec{b}|) \ \ (7) }$

Έτσι έχουμε το ακόλουθο σχήμα:

: Γωνία διανυσμάτων 1.png (19.3 KiB) Προβλήθηκε 2446 φορές

Γνωρίζοντες κάθε φορά το μέτρο του ζητούμενου διανύσματος $\displaystyle{|\vec{b}|}$ και την αντίτοιχη γωνία $\displaystyle{\phi}$ , εύκολα

σχεδιάζουμε το σύνολο αυτών των στοιχείων στο ακόλουθο σχήμα:

: Γωνία διανυσμάτων 2.png (13.89 KiB) Προβλήθηκε 2446 φορές

Η προσεκτική μελέτη των δυο αυτώ σχημάτων δίνει τη συνολική απάντηση στο αρχικό ερώτημα...

Αναρτώ και το δυναμικό σχήμα για καλύτερη μελέτη...

https://www.geogebra.org/m/twey5uv5

Κώστας Δόρτσιος

#12

Κώστα, ενθουσιάστηκα με το Geοgebra σου. Είσαι μάγος.

Πέραν των άλλων επιβεβαιώνει αυτό που γράφω στο ποστ #3, ότι δηλαδή η γωνία των διανυσμάτων μπορεί να είναι οποιαδήποτε τιμή από 90^o

έως

.

Η μέθοδος που απόδειξης που είχα κατά νου είναι παραλλαγή αυτής που γράφεις. Ακριβέστερα, για b=(u,v)

στο διάστημα που καταγράφεις είχα τύπο που δίνει τα u,v

βάση της

και για τα οποία η γωνία είναι οποιοδήποτε δοθέν $\cos \theta \in (-1,0)$ , ισοδύναμα $\theta \in (90^o, \, 180 ^o)$ .

Θα παρακαλούσα την θεματοθέτρια Μυρτώ (pito) να σχολιάσει τα εδώ αναφερθέντα.

#13

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιαν 17, 2025 8:14 pm Κώστα, ενθουσιάστηκα με το Geοgebra σου. Είσαι μάγος.

Πέραν των άλλων επιβεβαιώνει αυτό που γράφω στο ποστ #3, ότι δηλαδή η γωνία των διανυσμάτων μπορεί να είναι οποιαδήποτε τιμή από έως .

Η μέθοδος που απόδειξης που είχα κατά νου είναι παραλλαγή αυτής που γράφεις. Ακριβέστερα, για στο διάστημα που καταγράφεις είχα τύπο που δίνει τα βάση της και για τα οποία η γωνία είναι οποιοδήποτε δοθέν $\cos \theta \in (-1,0)$ , ισοδύναμα $\theta \in (90^o, \, 180 ^o)$ .

Θα παρακαλούσα την θεματοθέτρια Μυρτώ (pito) να σχολιάσει τα εδώ αναφερθέντα.

Μιχάλη καλησπέρα...

Σε ευχαριστώ πολύ για τα όμορφα λόγια σου! Ξέρεις τα όμορφα λόγια τιμούν

πρώτα εκείνον που τα εκφέρει κι ύστερα εκείνον στον οποίον απευθύνονται.

Ακόμα ξέρεις την εκτίμησή μου για σένα εδώ και χρόνια καθώς και την εντύπωση που σχημάτισα

και σχηματίζω καθημερινά, για τη φιλομάθεια εργατικότητα και την προσφορά σου στα Μαθηματικά!

Εγώ συνεχίζω κι εδώ που βρίσκομαι - όχι στα Γρεβενα, εσύ το ξέρεις- να τέρπομαι από τις δυνατότητες

της νέας ψηφιακής τεχνολογίας, με όσες αδυναμίες κι αν αυτή έχει!

Να είσαι πάντα γερός και δημιουργικός...

Κώστας Δόρτσιος

pito · #14

Καλημέρα σε όλους .Σας ευχαριστώ όλους για την ενασχόληση και τον διάλογο !Η άσκηση ήταν από φυλλάδιο που μου δόθηκε και θεωρήθηκε ,έπειτα ,δεδομένο το προηγούμενο ερώτημα από το οποίο με ξεχωριστή υπόθεση προέκυπτε ότι τα διανύσματα $\vec{j},\vec{b}$ έχουν εσωτερικό γινόμενο 2.Να σημειώσω ότι το δεδομένο αυτό δεν ήταν στην αρχική εκφώνηση και έτσι δεν μπορούσα να το λάβω υπόψιν.

#15

pito έγραψε: Σάβ Φεβ 15, 2025 7:35 am !Η άσκηση ήταν από φυλλάδιο που μου δόθηκε και θεωρήθηκε ,έπειτα , δεδομένο το προηγούμενο ερώτημα από το οποίο με ξεχωριστή υπόθεση προέκυπτε ότι τα διανύσματα $\vec{j},\vec{b}$ έχουν εσωτερικό γινόμενο 2.

.
Μυρτώ, Καλημέρα και ευχαριστώ για τις διευκρινίσεις.

Όμως, κάτι δεν μου πάει καλά, και δεν φαίνεται να είναι σωστή η άσκηση. Όπως ανέφερα παραπάνω, ο ίδιος βλέπω ότι η γωνία των $j, \, b$ μπορεί να είναι οποιαδήποτε.

Συμπληρώνω ότι σίγουρα το συμπέρασμα που γράφει το φυλλάδιο που αναφέρεσαι, ότι δηλαδή τα διανύσματα $\vec{j},\vec{b}$ έχουν εσωτερικό γινόμενο 2, δεν είναι σωστό: Πράγματι, η άσκηση ζητά
.

pito έγραψε: Πέμ Ιαν 02, 2025 11:48 am ...
Αν η εξίσωση $(\vec{j}\vec{b})x^2+(|\vec{b}|-1)x-9/8=0$ έχει μία διπλή ρίζα να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων $\vec{j},\vec{b}$

.
Αν, λοιπόν, $\vec{j}\cdot \vec{b}=2$ , η εξίσωση γίνεται $2x^2+(|\vec{b}|-1)x-9/8=0$ . Έχει διακρίνουσα

$(|\vec{b}|-1)^2+9 >0$ , δηλαδή δεν υπάρχει περίπτωση η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα. Έχουμε πρόβλημα...

pito · #16

Κύριε Μιχάλη ,καλησπέρα ! Έκανα ένα λάθος στο προηγούμενο μήνυμά μου ,το ερώτημα που βασίστηκε η άσκηση και θεωρήθηκε δεδομένο έδινε το εσωτερικό γινόμενο να είναι -2 και όχι 2 που έγραψα . Ζητώ συγνώμη.Τώρα νομίζω η άσκηση δεν έχει πρόβλημα .
Σας ευχαριστώ,όπως και να έχει ,που παρά την απουσία μου χρόνων από το forum ,λόγω της δημιουργίας οικογένειας ,με θυμάστε ακόμα και ακόμα περισσότερο για το ότι μαθαίνω τόσα πολλά από εσάς !! Νιώθω ιδιαιτέρως τυχερή που είμαι μέλος εδώ ,είναι το μεγαλύτερο σχολείο για εμένα .

#17

pito έγραψε: Σάβ Φεβ 15, 2025 12:04 pm Κύριε Μιχάλη ,καλησπέρα ! Έκανα ένα λάθος στο προηγούμενο μήνυμά μου ,το ερώτημα που βασίστηκε η άσκηση και θεωρήθηκε δεδομένο έδινε το εσωτερικό γινόμενο να είναι -2 και όχι 2 που έγραψα . Ζητώ συγνώμη.Τώρα νομίζω η άσκηση δεν έχει πρόβλημα .
Σας ευχαριστώ,όπως και να έχει ,που παρά την απουσία μου χρόνων από το forum ,λόγω της δημιουργίας οικογένειας ,με θυμάστε ακόμα και ακόμα περισσότερο για το ότι μαθαίνω τόσα πολλά από εσάς !! Νιώθω ιδιαιτέρως τυχερή που είμαι μέλος εδώ ,είναι το μεγαλύτερο σχολείο για εμένα .

Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.

Βεβαίως και σε θυμάμαι. Έχουμε συναντηθεί δύο φορές (σωστά;) από τις οποίες η πρώτη ήταν όταν ήλθες σε μία ομιλία μου στην Αθήνα, όπου μας είχε συστήσει ο Νίκος Μαυρογιάννης.

Γωνία διανυσμάτων

Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Μέλη σε σύνδεση