ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

[juan]

Σκέφτηκα τώρα μία λύση για το πρόβλημα 2 Γ λυκείου.
Απόδειξη της σχέσης για θετικο ακέραιο n, μέσω μαθηματικής επαγωγής. Εφαρμογή για n = 2025. Είναι κάτι τέτοιο σωστό; Ρωτώ διότι αρχικά "μαντεύω" ποια σχέση θα αποδείξω μέσω επαγωγής.

[Stefapanag]

Καλησπέρα. Όσον αφόρα το πρώτο θέμα της Β λυκείου βρήκα τα εξής:
Για ΧE(-1,4) η εξίσωση έχει μοναδική λύση εφόσον α=0 την χ=3/2
Για κάθε ΧΕ(-inf,-1)U(4,+inf) η εξίσωωση έχει άπειρες λύσεις εφόσον α=-10 ή α=10 αντίστοιχα.

[Mathimatika]

Βγήκα οι λύσεις !! Εγώ που έδωσα α λυκείου έχω σωστό το πρόβλημα 1,2 και 3 .. το πρόβλημα 4 το ελυσα με διαφορετικό τρόπο τώρα δεν ξέρω .. πως σας φάνηκαν τα θέματα της Α λυκείου ;

[juan]

Βγήκα οι λύσεις !! Εγώ που έδωσα α λυκείου έχω σωστό το πρόβλημα 1,2 και 3 .. το πρόβλημα 4 το ελυσα με διαφορετικό τρόπο τώρα δεν ξέρω .. πως σας φάνηκαν τα θέματα της Α λυκείου ;

Που ακριβώς βρήκες τις λύσεις; Αυτην την στιγμή δεν βλέπω ανακοίνωση στην ιστοσελίδα της ΕΜΕ.

[Apostolos.Papanikolaou]

Νομίζω πως ήταν ωραία τα θέματα φέτος στη Γ' Γυμνασίου, έλυσα και τα 4, αλλά ξέχασα τις αρνητικές περιπτώσεις στο 2. Πόσο μπορεί να κοστίσει;

1.


Για να είναι πολ 10 - πολ 19 = 6 πρέπει το πολ 19 να τελειώνει σε 4 (10-4=6)
επειδή τα α,β,γ είναι <10: γ=6 γιατί
Αντικαταστούμε το γ με 6 και παίρνουμε:


Τώρα οι δοκιμές είναι περιορισμένες, και βγαίνει ότι Α=246
από 8α-β=12, προκύπτει 8α-12=β, άρα 4(2α-3)=β, άρα β = 4 και 2α-3=1, άρα α=2 ή β=8 και 2α-3=2, άρα α=2,5 απορρίπτεται.
Έτσι α=2 , β =4.

2.

Για να είναι το Α ακέραιος αρκεί το να είναι ακέραιο, άρα


3.



Το 2α και το 6α είναι ακέραιοι αφού είναι ακέραιος το α, άρα πρέπει b=EKΠ(3,5)=15


4.
α)
H ΒΜ είναι και διχοτόμος και ύψος (από κατασκευή) άρα το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΒΖ.
β)
Aπό το τρίγωνο ΑΒΜ: (σχέση Α)
Από ΑΓΖ:
Αντικατάσταση φ με λ/2 στην Α:

Άρα ΑΒΖ = ΑΓΒ = 2λ = 72 και ΒΑΓ = 2φ = 36

eykleid-g-gymn.png

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Για την Γεωμετρία της Γ Λυκείου:
Αν είναι το συμμετρικό του ως προς την , το σημείο είναι βαρύκεντρο του και τα είναι συνευθειακά.
Επί πλέον το σημείο είναι βαρύκεντρο του τριγώνου και ταυτόχρονα ορθόκεντρο του . Όμως τα υποδιαιρούν τα και σε ίσους λόγους, επομένως .
Επομένως η είναι κάθετη στην καθώς και η είναι.

[S.E.Louridas]

Γεωμετρία Γ' Λυκείου.

Μετά την άριστη λύση του Ανδρέα ας δούμε και αυτή τη εκδοχή, για λόγους πλουραλισμού.

Στο σχήμα που ακολουθεί, το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου .

Έτσι καταλήγουμε:

Επομένως

EYKL.png (43 KiB) Προβλήθηκε 2773 φορές

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Για το πρόβλημα 2 της Γ' Λυκείου

.

Επομένως . Προσθέτω κατά μέλη και προκύπτει ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι:



Από τον αρχικό τύπο έχουμε , αντιστρέφω και προκύπτει .

Θεωρώ ακολουθία , επομένως ισχύει .

Η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά 1, επομένως .

Άρα .

Επομένως , άρα

Σήμερα ήμουν στο εξεταστικό κέντρο στο Αργοστόλι, μαζί με τρεις άλλες μαθηματικούς. Μόλις είδα τα θέματα η προσοχή μου στράφηκε στο δεύτερο θέμα της Τρίτης Λυκείου. Θυμήθηκα το βιβλίο των Ντζιώρα-Πανάκη που διδασκόταν στη Β' Λυκείου μέχρι το σχολικό έτος 1982-1983.
Η άσκηση 84 στη σελίδα 60 είναι η εξής:
Αν οι διάφοροι μεταξύ τους ανά δύο αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι μιας αρμονικής προόδου, να
αποδείξετε ότι για κάθε με ισχύει :

Πόσο σύγχρονο αποδείχθηκε σήμερα αυτό το παλιό βιβλίο...

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Για το πρώτο θέμα της Γ Λυκείου.
Η απόσταση της τιμής από το ισούται με 8. Αν το ισούται με 8, οι τιμές του είναι 0 η 16, οπότε για την πρώτη τιμή έχουμε ενώ για την δεύτερη η καθώς , δηλαδή η απόσταση του από το 2 θα ισούται με 8. Αν τότε θα έχουμε δύο θετικές τιμές για το ,επομένως τέσσερις για το , ενώ για , η μία τουλάχιστον τιμή του θα είναι αρνητική, επομένως θα έχουμε το πολύ δύο λύσεις.

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Για το 1ο της Β Λυκείου
Η εξίσωση ισοδυναμεί με την
Το πρώτο μέλος εκφράζει την διαφορά των αποστάσεων του από το και το .
Για όλες τις τιμές του που είναι ίσες με η δηλαδή για η έχουμε άπειρες λύσεις καθώς αυτό συμβαίνει για όλες τις τιμές του που να βρίσκονται εκτός του διαστήματος ενώ για τις τιμές του μεταξύ των και , δηλαδή οι δύο αποστάσεις θα έχουν άθροισμα οπότε το σύστημα θα έχει μοναδική λύση.
Για κάθε άλλη τιμή του η εξίσωση είναι αδύνατη.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Για την Γεωμετρία της Γ Λυκείου:
Αν είναι το συμμετρικό του ως προς την , το σημείο είναι βαρύκεντρο του και τα είναι συνευθειακά.
Επί πλέον το σημείο είναι βαρύκεντρο του τριγώνου και ταυτόχρονα ορθόκεντρο του . Όμως τα υποδιαιρούν τα και σε ίσους λόγους, επομένως .
Επομένως η είναι κάθετη στην καθώς και η είναι.

Δεν χρειάζονται τόσα πολλά.
Αν είναι το σημείο τομής της ΒΔ με την διχοτόμο-διάμεσο-υψος του ΑΒΓ από το Α τότε
Τα παρακάτω είναι αντιγραφή από τον Ανδρέα.
το σημείο είναι βαρύκεντρο του τριγώνου και ταυτόχρονα ορθόκεντρο του . Όμως τα υποδιαιρούν τα και σε ίσους λόγους, επομένως .
Επομένως η είναι κάθετη στην καθώς και η είναι.

[Γιώργος Μήτσιος]

Καλημέρα σε όλους! Για το 3ο της Γ Λυκείου, με χρήση του σχήματος:

Γ Λ 3ο.png (226.54 KiB) Προβλήθηκε 2640 φορές

Φέρω . Από τα ίσα τρίγωνα παίρνουμε ,

ενώ οπότε άρα .

Θέτω και χωρίς βλάβη . Τότε και .

Από κριτήριο καθετότητας ή άρα

Τα τρίγωνα είναι όμοια, αφού έχουν την γωνία κοινή και

που ισοδυναμεί με δηλ και ισχύει.

Έτσι και συνεπώς η ζητούμενη γωνία είναι . Φιλικά, Γιώργος.

[Math's 120]

Έχω μια ερώτηση όλοι οι επιτυχόντες του διαγωνισμού "Ο Θαλής" θα λάβουν κάποιο βραβείο, επίσης το ίδιο και στον Ευκλείδη ή όχι. Μπορείτε να στείλετε τις λύσεις την Β Γυμνασίου Ο Ευκλείδης σε όλα τα θέματα;

[S.E.Louridas]

Γεωμετρία Γ' Λυκείου
Για τους διαγωνιζόμενους και μόνο για λόγους ουσιαστικής πολυφωνίας:

EME.png (38.62 KiB) Προβλήθηκε 2561 φορές

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Για την Γεωμετρία της Γ Λυκείου:
Αν είναι το συμμετρικό του ως προς την , το σημείο είναι βαρύκεντρο του και τα είναι συνευθειακά.
Επί πλέον το σημείο είναι βαρύκεντρο του τριγώνου και ταυτόχρονα ορθόκεντρο του . Όμως τα υποδιαιρούν τα και σε ίσους λόγους, επομένως .
Επομένως η είναι κάθετη στην καθώς και η είναι.

Δεν χρειάζονται τόσα πολλά.
Αν είναι το σημείο τομής της ΒΔ με την διχοτόμο-διάμεσο-υψος του ΑΒΓ από το Α τότε
Τα παρακάτω είναι αντιγραφή από τον Ανδρέα.
το σημείο είναι βαρύκεντρο του τριγώνου και ταυτόχρονα ορθόκεντρο του . Όμως τα υποδιαιρούν τα και σε ίσους λόγους, επομένως .
Επομένως η είναι κάθετη στην καθώς και η είναι.

Όντως Σταύρο, τελικά το συμμετρικό δεν είναι απαραίτητο!
Σε ευχαριστούμε!

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Γεωμετρία Γ' Λυκείου
Για τους διαγωνιζόμενους και μόνο για λόγους ουσιαστικής πολυφωνίας:



EME.png

Εξαιρετικά Σωτήρη!
Στην ουσία η είναι ύψος και παράλληλη της οπότε τελειώνει.
Νομίζω ότι πάντα αξίζει να ψάχνει κανείς την συντομότερη Γεωμετρική λύση.

[Math's 120]

Έχω μια ερώτηση όλοι οι επιτυχόντες του διαγωνισμού "Ο Θαλής" θα λάβουν κάποιο βραβείο ή έπαινο, επίσης το ίδιο και στον Ευκλείδη ή όχι. Μπορείτε να στείλετε τις λύσεις σας για την Β Γυμνασίου Ο Ευκλείδης σε όλα τα πρόβληματα. Ότι μπορείτε και αν ξέρετε για τα βραβεία και τις λύσεις των θεμάτων να τα αναρτήσετε.

[εφηηηηηηηη]

Έχω μια ερώτηση όλοι οι επιτυχόντες του διαγωνισμού "Ο Θαλής" θα λάβουν κάποιο βραβείο ή έπαινο, επίσης το ίδιο και στον Ευκλείδη ή όχι. Μπορείτε να στείλετε τις λύσεις σας για την Β Γυμνασίου Ο Ευκλείδης σε όλα τα πρόβληματα. Ότι μπορείτε και αν ξέρετε για τα βραβεία και τις λύσεις των θεμάτων να τα αναρτήσετε.

Στο παράρτημα Εύβοιας φέτος τον Οκτώβριο βραβευτήκαμε από την μαθηματική εταιρεία όσοι επιτύχαμε στον Θαλή και στον ευκλείδη αντίστοιχα του 23-24. Κάτι αντίστοιχο συνέβη και σε άλλα παραρτήματα. Επομένως θεωρώ ότι με την έναρξη της επόμενης σχολικής χρονιάς θα γίνουν οι βραβεύσεις όσων επέτυχαν τωρα.

[Mimichor]

Καλημέρα! Ωραία ήταν τα φετινά θέματα της γ γυμνασίου. Εγώ έλυσα το πρώτο θέμα με δοκιμές και όχι με αλγεβρική παράσταση. Μήπως γνωρίζετε πόσο θα μου στοιχίσει;
Καλά αποτελέσματα σε όλους!

[Math's 120]

Ευχαριστώ! Αλλά κάτι ακόμα με Βραβείο ή με Επαίνους;