Ταυτότητα Dixon

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{k=-n}^{n} (-1)^k \binom{2n}{k+n}^3 = \frac{\left( 3n \right)!}{\left( n! \right)^3} }$
όπου $n \in \mathbb{N}^*$ .

Δεν έχω απάντηση. ...

Ανδρέας Πούλος · #2

Μία απόδειξη της ταυτότητας βρίσκεται εδώ:

https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PP ... 3A0.338%7D

Tolaso J Kos · #3

Ανδρέα,

δε βλέπω πού/πώς μπορώ να βρω την απόδειξη !!

Tolaso J Kos · #4

Βρήκα μία απάντηση εχθές... ψάχνοντας.

$\displaystyle{\begin{aligned} S(n, n, n) &= \sum_{k=-n}^{n} (-1)^k \left( \frac{2n}{n+k} \right)^3 \\ &= \sum_{k=-n}^{n} (-1)^k \left( \left( \frac{2n-1}{n+k} + \frac{2n-1}{n-1+k} \right)^3 \right) \\ &= \sum_{k=-n}^{n} (-1)^k \left( \frac{2n-1}{n+k} \right)^3 + 3 \sum_{k=-n}^{n} (-1)^k \frac{2n}{n+k} \left( \frac{2n-1}{n+k} \cdot \frac{2n-1}{n-1+k} \right) \\ &\quad \quad \quad + \sum_{k=-n}^{n} (-1)^k \left( \frac{2n-1}{n-1+k} \right)^3 + 3S(n, n, n-1) \\ &= \sum_{k=-n}^{n} (-1)^k \left( \frac{2n-1}{n+k} \right)^3 + \sum_{k=-n}^{n} (-1)^k \left( \frac{2n-1}{n-1+k} \right)^3 + 3S(n, n, n-1) \\ &= \sum_{k=-n}^{n-1} (-1)^k \left( \frac{2n-1}{n+k} \right)^3 + \sum_{k=-n}^{n-1} (-1)^{k+1} \left( \frac{2n-1}{n+k} \right)^3 + 3S(n, n, n-1) \\ &= 3S(n, n, n-1). \end{aligned}}$

Από εδώ συνεχίζουμε με επαγωγή.

Ερώτηση: Υπάρχει τρόπος από τη τελευταία σχέση να φτάσουμε στο αποτέλεσμα χωρίς επαγωγή;

Ταυτότητα Dixon

Ταυτότητα Dixon

Re: Ταυτότητα Dixon

Re: Ταυτότητα Dixon

Re: Ταυτότητα Dixon

Μέλη σε σύνδεση