Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)

[Al.Koutsouridis]

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025, 3η φάση.
Θέματα της 1ης μέρας για την 9η τάξη. 31 Ιανουαρίου 2025.

1. Σε έναν ευθύγραμμο δρόμο βρίσκονται το σχολείο και τα σπίτια της Μαρίας και του Γιώργου. Κάθε μέρα η Μαρία ξεκινάει από το σπίτι στις 7:00 και πηγαίνει στο σχολείο. Μια μέρα ο Γιώργος ξεκίνησε από το σπίτι προς το σχολείο στις 7:00 και έφτασε την Μαρία σε 30 λεπτά. Την επόμενη μέρα ξεκίνησε στις 7:10 και έφτασε την Μαρία σε 40 λεπτά. Τι ώρα πρέπει να ξεκινήσει, ώστε να συναντήσει την Μαρία στην έξοδο του σπιτιού της; (η ταχύτητα της Μαρίας είναι πάντα σταθερή, η ταχύτητα του Γιώργου είναι κι αυτή σταθερή.) (Ι. Μπογκντάνοβ)

2. Σε ισοσκελές τρίγωνο () φέρουμε την διχοτόμο . Στην βάση δίνεται σημείο τέτοιο, ώστε . Σημείο διαλέχθηκε με τέτοιο τρόπο, ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο. Να αποδείξετε, ότι . (Α. Κουζνέτσοβ)

3. Δίνονται τα δευτεροβάθμια τριώνυμα και : συμβολίζουμε με και . Μια φορά κάθε λεπτό ο Αλέξανδρος σχεδιάζει στο καρτεσιανό επίπεδο ευθεία: το πρώτο λεπτό ευθεία με εξίσωση , το δεύτερο λεπτό με εξίσωση , …, στο στό λεπτό με εξίσωση . Ύστερα από κάποιο χρονικό διάστημα ο Αλέξανδρος βρήκε τρεις σχεδιασμένες ευθείες, που διέρχονται από το ίδιο σημείο. Να αποδείξετε όλες οι ευθείες που σχεδιάστηκαν διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Α. Τεριέσιν)

4. Σε κάθε κελί ενός πίνακα είναι τοποθετημένο ένα κέρμα του ενός ευρώ. Η Αναστασία και η Σοφία παίζουν, κάνοντας κινήσεις με την σειρά, ξεκινάει η Αναστασία. Με μια κίνηση επιτρέπεται να διαλέξουμε οποιοδήποτε κέρμα και να το μετατοπίσουμε: η Αναστασία μετακινεί το κέρμα στο γειτονικό κατά διαγώνιο κελί, η Σοφία στο γειτονικό κατά πλευρά κελί. Αν δυο κέρματα βρεθούν στο ίδιο κελί, το ένα από αυτά αφαιρείτε από τον πίνακα και δίνεται στην Σοφία. Η Σοφία επιτρέπεται να τερματίσει το παιχνίδι οποιαδήποτε στιγμή και να πάρει όλα τα κέρματα που της δόθηκαν. Ποιο είναι το μεγαλύτερο ποσό που μπορεί να κερδίσει, ανεξάρτητα του πως θα παίξει η Αναστασία; (Α. Κουζνέτσοβ)

5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών και , για τους οποίους

.

Θυμίζουμε ότι - είναι το γινόμενο όλων των μη μηδενικών φυσικών αριθμών από το έως το . (Α. Κουζνέτσοβ)

[Mihalis_Lambrou]

1. Σε έναν ευθύγραμμο δρόμο βρίσκονται το σχολείο και τα σπίτια της Μαρίας και του Γιώργου. Κάθε μέρα η Μαρία ξεκινάει από το σπίτι στις 7:00 και πηγαίνει στο σχολείο. Μια μέρα ο Γιώργος ξεκίνησε από το σπίτι προς το σχολείο στις 7:00 και έφτασε την Μαρία σε 30 λεπτά. Την επόμενη μέρα ξεκίνησε στις 7:10 και έφτασε την Μαρία σε 40 λεπτά. Τι ώρα πρέπει να ξεκινήσει, ώστε να συναντήσει την Μαρία στην έξοδο του σπιτιού της; (η ταχύτητα της Μαρίας είναι πάντα σταθερή, η ταχύτητα του Γιώργου είναι κι αυτή σταθερή.) (Ι. Μπογκντάνοβ)

.
Έστω ότι η ταχύτητα του Γιώργου είναι μέτρα το λεπτό, της Μαρίας μέτρα το λεπτό, και έστω ότι η απόσταση μεταξύ των σπιτιών τους είναι μέτρα.

Την πρώτη μέρα μετά από λεπτά περπατήματος ο Γιώργος διάνυσε απόσταση και η Μαρία . Δεδομένου ότι βρέθηκαν τότε στο ίδιο σημείο αλλά ο Γιώργος περπάτησε απόσταση μέτρων παραπάνω, έχουμε .

Την δεύτερη μέρα βρέθηκαν στο ίδιο σημείο αφού ο Γιώργος περπάτησε για λεπτά και η Μαρία για λεπτά. Άρα .

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο ισότητες έχουμε , ή αλλιώς (δηλαδή ο Γιώργος περπατάει με διπλάσια ταχύτητα από την Μαρία).

Η πληροφορία αυτή στην πρώτη (ή στην δεύτερη, το ίδιο κάνει) εξίσωση, δίνει .

To ζητούμενο είναι να βρούμε πόσην ώρα θέλει ο Γιώργος για να φτάσει στο σπίτι της Μαρίας. Δηλαδή θέλουμε την ποσότητα , που από την (*) είναι . Άρα ο Γιώρος θέλει λεπτά για να φτάσει στο σπίτι της Μαρίας. Αν, λοιπόν, θέλει να είναι εκεί στις , πρέπει να ξεκινήσει από το σπίτι του στις .

[mick7]

Οχι λύση αλλά διερεύνηση με το λογισμικό Mathematica..από οπού φαίνεται ότι δεν υπάρχουν λύσεις

Κώδικας: Επιλογή όλων

f[n_] := ((n - 1)! - n)*(n - 2)!

Πίνακας τιμών



και

Κώδικας: Επιλογή όλων

g[m_] := m (m - 2)

Πίνακας τιμών

5. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακέραιων αριθμών και , για τους οποίους
.
Θυμίζουμε ότι - είναι το γινόμενο όλων των μη μηδενικών φυσικών αριθμών από το έως το . (Α. Κουζνέτσοβ)

[Mihalis_Lambrou]

..από οπού φαίνεται ότι δεν υπάρχουν λύσεις

Προσοχή, τα και είναι λύσεις.

Το πρώτο δίνει και οπότε είναι ίσα.

Το δεύτερο δίνει και οπότε είναι ίσα.

Δεν ξέρω αν υπάρχουν άλλες λύσεις, αλλά δεν το αποκλείω να υπάρχουν (για μεγάλα ). Αν για παράδειγμα βρει κανείς κάποιο ώστε να είναι τέλειο τετράγωνο, τότε εύκολα μπορούμε να βρούμε κάποιο ζεύγος λύσεων

[mick7]

Στην εκφώνηση δεν μου είναι ξεκάθαρο αν είναι μόνο .

..από οπού φαίνεται ότι δεν υπάρχουν λύσεις

Προσοχή, τα και είναι λύσεις.

Το πρώτο δίνει και οπότε είναι ίσα.

Το δεύτερο δίνει και οπότε είναι ίσα.

Δεν ξέρω αν υπάρχουν άλλες λύσεις, αλλά δεν το αποκλείω να υπάρχουν (για μεγάλα ). Αν για παράδειγμα βρει κανείς κάποιο ώστε να είναι τέλειο τετράγωνο, τότε εύκολα μπορούμε να βρούμε κάποιο ζεύγος λύσεων

[mick7]

To δεν μπορεί να είναι λύση αφού

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Μία εναλλακτική λύση για το 1 με χρήση συστήματος συντεταγμένων.
Ο οριζόντιος άξονας αφορά τον χρόνο και ο κατακόρυφος την απόσταση.
Η ευθεία είναι η πορεία του Γιώργου, ενώ η είναι της Μαρίας. Όταν ξεκινάει ο Γιώργος 10 λεπτά αργότερα έχει την πορεία , ενώ όταν ξεκινάει νωρίτερα, 'εχει την . Έχουμε οι αντίστοιχες τετμημένες.

Καθώς , έχουμε , επομένως ο Γιώργος πρέπει να ξεκινήσει 15 λεπτά νωρίτερα.

[Mihalis_Lambrou]

To δεν μπορεί να είναι λύση αφού

Σωστό είναι αυτό που λες αλλά σκόπιμα έγραψα λύσεις με . Θεώρησα ότι οι εξεταστές έβαλαν τον περιορισμό επειδή πολλοί μαθητές μπορεί να μην γνωρίζουν το που εμφανίζεται. Κατά τα άλλα είναι επουσιώδης περιορισμός.

Η ουσία είναι ότι έγραψα την λύση , που δεν είχε προσεχθεί. Το ότι έγραψα μία λύση παραπάνω, την , είναι δώρο.

Το δεύτερο ουσιαστικό μου σχόλιο είναι ότι με την σάρωση που έγινε μέχρι το , είναι πολύ μικρό φράγμα για να αποφανθούμε ότι πιθανόν να μην υπάρχουν άλλες λύσεις. To γεγονός ότι όλες οι εμφανιζόμενες τιμές είναι κατά μία μονάδα μικρότερες από τέλειο τετράγωνο, μας ωθεί να εξετάσουμε και προς τα εκεί για λύση (ή να τις αποκλείσουμε με ένα ωραίο επιχείρημα).

[Al.Koutsouridis]

Στην εκφώνηση δεν μου είναι ξεκάθαρο αν είναι μόνο .

Μόνο το είναι . Ο ακέραιος μπορεί να είναι και μη θετικός.

[Mihalis_Lambrou]

Μόνο το είναι . Ο ακέραιος μπορεί να είναι και μη θετικός.

Το ενδιαφέρον είναι ότι το ενδεχόμενο δεν πρέπει να μας στεναχωρεί. Πραγματικά, αν βρούμε όλα τα με δοθέν, τότε μπορούμε να βρούμε και τα όλα τα θετικά με δοθέν, και αντίστροφα: Δεν έχουμε να παρά να πάρουμε , ισοδύναμα , οπότε έχουμε

[abgd]

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025, 3η φάση.
Θέματα της 1ης μέρας για την 9η τάξη. 31 Ιανουαρίου 2025.

2. Σε ισοσκελές τρίγωνο () φέρουμε την διχοτόμο . Στην βάση δίνεται σημείο τέτοιο, ώστε . Σημείο διαλέχθηκε με τέτοιο τρόπο, ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο. Να αποδείξετε, ότι . (Α. Κουζνέτσοβ)

rous.png (68.68 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές

Συνοπτικά η λύση....

Φέρνουμε την διχοτόμο .

• Δείχνουμε τις σχέσεις των σημειούμενων στο σχήμα γωνιών.

• Δείχνουμε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

• Από το θεώρημα διχοτόμων έχουμε εύκολα την ισότητα

• Τα κόκκινα τμήματα είναι ίσα.

Το ζητούμενο έπεται εύκολα.