Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 2η μέρα)

[Al.Koutsouridis]

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025, 3η φάση.
Θέματα της 2ης μέρας για την 9η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2025.

1. Η Αθηνά πήρε ένα κομμάτι νήματος, το δίπλωσε στη μέση, ύστερα άλλη μια φορά στην μέση, το έκανε αυτό δέκα φορές. Ύστερα πήρε ένα ψαλίδι και έκοψε την κατασκευή, που της προέκυψε σε ένα σημείο (με αυτό το τρόπο έκοψε το νήμα σε σημεία). Ως αποτέλεσμα το νήμα χωρίστηκε σε κομμάτια. Προέκυψε ότι τα μήκη αυτών των κομματιών λαμβάνουν μόλις δυο διαφορετικές τιμές, το μικρότερο εκ των οποίων είναι εκατοστά. Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του μήκους του αρχικού νήματος. (Α. Χραμπρόβ)

Screenshot 2025-02-09 at 11.17.53.png (7.76 KiB) Προβλήθηκε 649 φορές

2. Έστω ότι στον πίνακα είναι γραμμένοι μερικοί ακέραιοι αριθμοί (μερικοί από αυτούς μπορεί να είναι ίσοι). Θα λέμε ότι αυτοί οι αριθμοί σχηματίζουν πετυχημένη συλλογή, αν δεν μπορούμε να τους διαμερίσουμε σε δυο μη κενές ομάδες έτσι, ώστε το γινόμενο του αθροίσματος των αριθμών της μιας ομάδας με το άθροισμα των αριθμών της άλλης ομάδας να είναι θετικό. Ο δάσκαλος έγραψε στον πίνακα μερικούς ακέραιους αριθμούς. Να αποδείξετε, ότι οι μαθητές μπορούν να γράψουν στους ήδη γραμμένους ακριβώς άλλων έναν αριθμό έτσι, ώστε να προκύψει πετυχημένη συλλογή. (Α. Κουζνέτσοβ)

3. Στο τραπέζι σε κύκλο είναι τοποθετημένα με κάποια σειρά κέρματα των δυο λεπτών και των πέντε λεπτών. Είναι γνωστό, ότι αν διαλέξουμε από τον κύκλο μερικά διαδοχικά κέρματα, είναι αδύνατον να προκύψει άθροισμα ακριβώς ίσο με λεπτά. Να βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή του . (A. Σμόλιν)

4. Στο τραπέζι βρίσκονται αγγεία, τοποθετημένα σε σειρές από αγγεία σε κάθε σειρά. Σε κάθε αγγείο τοποθετήθηκε μερική ποσότητα νερού (μπορεί μηδενική). Είναι γνωστό ότι το σύνολο της ποσότητας νερού σε κάθε σειρά είναι λίτρο. Για ποια μπορούμε να ισχυριστούμε, ότι στο τραπέζι θα βρεθούν δυο αγγεία, η ποσότητα νερού στα οποία να διαφέρει το πολύ κατά λίτρα. (Ι. Μπογκντάνοβ)

5. Έστω το μέσο της πλευράς ενός τριγώνου . Στην προέκταση της πλευράς προς το σημείο βρέθηκε σημείο , ώστε . Το σημείο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Να βρείτε την γωνία . (Α. Κουζνέτσοβ)

[mick7]

Όχι ακριβώς λύση μάλλον διερεύνηση με το λογισμικό Mathematica από οπού προκύπτει η μεγαλύτερη τιμή του N (εδώ είναι το y) είναι 9

Κώδικας: Επιλογή όλων

solutions = Solve[{2 x + 5 y == 52, x >= 0, y >= 0}, {x, y}, Integers]

Κώδικας: Επιλογή όλων

{{x->1,y->10},{x->6,y->8},{x->11,y->6},{x->16,y->4},{x->21,y->2},{x->26,y->0}}

3. Στο τραπέζι σε κύκλο είναι τοποθετημένα με κάποια σειρά κέρματα των δυο λεπτών και των πέντε λεπτών. Είναι γνωστό, ότι αν διαλέξουμε από τον κύκλο μερικά διαδοχικά κέρματα, είναι αδύνατον να προκύψει άθροισμα ακριβώς ίσο με λεπτά. Να βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή του . (A. Σμόλιν)

[Mihalis_Lambrou]

Όχι ακριβώς λύση μάλλον διερεύνηση με το λογισμικό Mathematica από οπού προκύπτει η μεγαλύτερη τιμή του N (εδώ είναι το y) είναι 9

.
Νομίζω ότι τα πεντάρια απέχουν πολύ από το να είναι το μέγιστο πλήθος. Δίνω ένα παράδειγμα με πεντάρια αλλά και πάλι δεν ξέρω ότι είναι το μέγιστο.

Στο παράδειγμα έχουμε έναν τεράστιο κύκλο με εναλλάξ πεντάρια και δυάρια, από φορές το καθένα. Σύνολο εννιάρια και δυάρια.
.

[mick7]

Πώς προκύπτουν τα 450 πεντάρια όταν έχουμε 100 κέρματα συνολικά ;

Όχι ακριβώς λύση μάλλον διερεύνηση με το λογισμικό Mathematica από οπού προκύπτει η μεγαλύτερη τιμή του N (εδώ είναι το y) είναι 9

.
Νομίζω ότι τα πεντάρια απέχουν πολύ από το να είναι το μέγιστο πλήθος. Δίνω ένα παράδειγμα με πεντάρια αλλά και πάλι δεν ξέρω ότι είναι το μέγιστο.

[Mihalis_Lambrou]

Πώς προκύπτουν τα 450 πεντάρια όταν έχουμε 100 κέρματα συνολικά ;

Τα κέρματα δεν είναι συνολικά. Τα κέρματα των λεπτών είναι , και έχουμε ακόμα άγνωστο (ζητούμενο) αριθμό κερμάτων των λεπτών.