Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025, 3η φάση.
Θέματα της 1ης μέρας για την 10η τάξη. 31 Ιανουαρίου 2025.

1. Το δευτεροβάθμιο τριώνυμο f(x)=ax^2+bx+c

έχει δυο διαφορετικές πραγματικές ρίζες $x_{1}$ και $x_{2}$ . Είναι γνωστό ότι $f\left( x_{1}+x_{2} \right) = 2025$ . Με τί μπορεί να ισούται ο

; (Ν. Αγκαχάνοβ)

2. Σε μια χώρα υπάρχουν

πόλεις και

αμφίδρομες αερογραμμές, που ενώνουν τις πόλεις κυκλικά. Μπορούμε άραγε να προσθέσουμε επιπλέον άλλες

αερογραμμές έτσι, ώστε μετά από αυτό από οποιαδήποτε πόλη να μπορούμε να μεταβούμε σε οποιαδήποτε άλλη το πολύ με

μετεπιβιβάσεις; (Π. Κοζέβνικοβ)

3. Οι θετικοί αριθμοί a,b,c

είναι τέτοιο, ώστε a^2b+b^2c+c^2a=2

και

. Να αποδείξετε ότι κάποιοι δυο εκ των αριθμών a,b,c

διαφέρουν περισσότερο από

. (Α. Κουζνέτσοβ)

4. Μπορούμε άραγε σε ένα άπειρο τετραγωνισμένο επίπεδο να σημειώσουμε πεπερασμένο αριθμό κόμβων του πλέγματος έτσι, ώστε να έχουν σημειωθεί τουλάχιστον δυο κόμβοι και για οποιοδήποτε ζεύγος σημειωμένων σημείων να βρεθεί σημειωμένο σημείο, που ισαπέχει από αυτά; (Ι. Εφρέμοβ)

5. Τα ύψη

και

ενός οξυγώνιου τριγώνου ABC

τέμνονται στο σημείο

, τα ύψη του τριγώνου ADE

τέμνονται στο σημείο

και το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

. Να αποδείξετε ότι $BH+CH \geq 2FM$ . (Α. Κουζνέτσοβ)

mick7 · #2

Για το 1
Από τύπο του Vietta έχουμε : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Επίσης

$f(x_1 + x_2) &= a(x_1 + x_2)^2 + b(x_1 + x_2) + c =a(-\frac{b}{a})^2 + b\left(-\frac{b}{a}) + c$

Μετά απο εύκολες πράξεις c = 2025

Al.Koutsouridis έγραψε: Πέμ Φεβ 13, 2025 5:17 pm
1. Το δευτεροβάθμιο τριώνυμο έχει δυο διαφορετικές πραγματικές ρίζες $x_{1}$ και $x_{2}$ . Είναι γνωστό ότι $f\left( x_{1}+x_{2} \right) = 2025$ . Με τί μπορεί να ισούται ο ; (Ν. Αγκαχάνοβ)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση