Αναπάντεχο γινόμενο

KARKAR · #1

: Αναπάντεχο γινόμενο.png (30.35 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές

Από το σημείο

διέρχεται τυχούσα ευθεία , η οποία τέμνει τον κύκλο (K,4)

στα σημεία A , B

.

Οι προεκτάσεις των NA , NB

, τέμνουν την από το

οριζόντια ευθεία $\varepsilon$ , στα σημεία P , Q

.

Υπολογίστε το γινόμενο : $SP\cdot SQ$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2025 1:59 pm
Αναπάντεχο γινόμενο.pngΑπό το σημείο διέρχεται τυχούσα ευθεία , η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία .

Οι προεκτάσεις των , τέμνουν την από το οριζόντια ευθεία $\varepsilon$ , στα σημεία .

Υπολογίστε το γινόμενο : $SP\cdot SQ$

Από τον τύπο bc=2Rh_a

και με τους συμβολισμούς του σχήματος, έχω:

$\displaystyle AE \cdot EB = 8b,NA \cdot NB = 8a \Rightarrow \frac{{AE \cdot EB}}{{NA \cdot NB}} = \frac{b}{a} = \frac{{EL}}{{LN}} = \frac{1}{3}$

: Αναπάντεχο γινόμενο.png (23.58 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Αλλά, από τις ομοιότητες των τριγώνων NAE, NSP

και

είναι $\displaystyle SP = \frac{{9AE}}{{NA}},SQ = \frac{{9EB}}{{NB}}.$

Επομένως, $\displaystyle SP \cdot SQ = \frac{{81AE \cdot EB}}{{NA \cdot NB}} = \frac{{81}}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{SP\cdot SQ=27}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2025 1:59 pm
Αναπάντεχο γινόμενο.pngΑπό το σημείο διέρχεται τυχούσα ευθεία , η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία .

Οι προεκτάσεις των , τέμνουν την από το οριζόντια ευθεία $\varepsilon$ , στα σημεία .

Υπολογίστε το γινόμενο : $SP\cdot SQ$

Και μία καθ' υπόδειξη του KARKAR, εδώ (Για λόγους χώρου το σχήμα έχει περιστραφεί και η οριζόντια ευθεία έγινε κατακόρυφη).

: Αναπάντεχο γινόμενο.β.png (27.48 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές

Το

είναι εγγράψιμο, άρα $\displaystyle DL \cdot LF = AL \cdot LB = NL \cdot LE \Leftrightarrow$ $\boxed{DL\cdot LF=12}$ (1)

$\displaystyle ND \cdot NF = NA \cdot NP = NE \cdot NS = 8 \cdot 9 \Leftrightarrow ND \cdot NF = 72 \Leftrightarrow$

$\displaystyle (6 - DL)(6 + FL) = 72\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{LF-DL=8}$ (2)

$\displaystyle SP \cdot SQ = DS \cdot SF = (DL + 3)(LF - 3)\mathop \Rightarrow \limits^{(1),(2)}$ $\boxed{SP\cdot SQ=27}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2025 1:59 pm
Αναπάντεχο γινόμενο.pngΑπό το σημείο διέρχεται τυχούσα ευθεία , η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία .

Οι προεκτάσεις των , τέμνουν την από το οριζόντια ευθεία $\varepsilon$ , στα σημεία .

Υπολογίστε το γινόμενο : $SP\cdot SQ$

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς την ευθεία

. Θεωρώ την εφαπτομένη του κύκλου $\Omega \to \left( {N,A,B} \right)$ στο

.

Επειδή $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ , χορδή κι εφαπτομένης και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$ , εντός εναλλάξ , θα είναι $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ και άρα το ,

APQB

είναι εγγράψιμο σε κύκλο κέντρου έστω

. Ας είναι ακόμα

το εφαπτόμενο τμήμα στον κύκλο $\left( O \right)$ .

: Αναπάντεχο γινόμενο.png (60.09 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές

Θα είναι $N{J^2} = NA \cdot NP = NC \cdot NS = 8 \cdot 9 = 72$ . Η αντιστροφή της ευθείας

με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής $N{J^2} = 72$ ,

μετασχηματίζει την ευθεία στον κύκλο $\Omega$ , οπότε αν

το συμμετρικό του

ως προς την

το τετράπλευρο LPN'Q

είναι εγγράψιμο .

Έτσι : $\boxed{SP \cdot SQ = SL \cdot SN' = 3 \cdot 9 = 27}$ .

Δείτε και πάλι το παλιό σχολικό βιβλίο του Σπ. Κανέλλου έκδοση σελίδα τα «ψιλά» «γράμματα» στο τέλος της σελίδας .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2025 1:59 pm
Αναπάντεχο γινόμενο.pngΑπό το σημείο διέρχεται τυχούσα ευθεία , η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία .

Οι προεκτάσεις των , τέμνουν την από το οριζόντια ευθεία $\varepsilon$ , στα σημεία .

Υπολογίστε το γινόμενο : $SP\cdot SQ$

Η

τέμνει τον κύκλο (N,P,Q)

στο

Η ισότητα των κόκκινων γωνιών είναι προφανής.Άρα το LAPZ

είναι εγγράψιμμο.

Είναι $NA.NP=NE.NS=72=NL.NZ=6NZ \Rightarrow NZ=12 \Rightarrow SZ=3$

Άρα PS.SQ=NS.SZ=9.3=27

: Αναπάντεχο γινόμενο.png (66.75 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές

#6

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 20, 2025 1:11 am

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2025 1:59 pm
Αναπάντεχο γινόμενο.pngΑπό το σημείο διέρχεται τυχούσα ευθεία , η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία .

Οι προεκτάσεις των , τέμνουν την από το οριζόντια ευθεία $\varepsilon$ , στα σημεία .

Υπολογίστε το γινόμενο : $SP\cdot SQ$
Η τέμνει τον κύκλο στο

Η ισότητα των κόκκινων γωνιών είναι προφανής.Άρα το είναι εγγράψιμμο.

Είναι $NA.NP=NE.NS=72=NL.NZ=6NZ \Rightarrow NZ=12 \Rightarrow SZ=3$

Άρα

Αναπάντεχο γινόμενο.png

Αναπάντεχο γινόμενο

Αναπάντεχο γινόμενο

Re: Αναπάντεχο γινόμενο

Re: Αναπάντεχο γινόμενο

Re: Αναπάντεχο γινόμενο

Re: Αναπάντεχο γινόμενο

Re: Αναπάντεχο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση