Πρώτοι και σύνθετοι

[socrates]

Σε εννιά κάρτες είναι γραμμένοι οι αριθμοί και , ένας σε κάθε κάρτα. Χρησιμοποιώντας όλες τις κάρτες σχηματίζουμε αριθμούς (π.χ. , , , και ).
α) Αν όλοι οι αριθμοί που σχηματίσαμε είναι πρώτοι, να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματός τους.
β) Αν όλοι οι αριθμοί που σχηματίσαμε είναι σύνθετοι, να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματός τους.

[socrates]

Επαναφορά!

[Mihalis_Lambrou]

Σε εννιά κάρτες είναι γραμμένοι οι αριθμοί και , ένας σε κάθε κάρτα. Χρησιμοποιώντας όλες τις κάρτες σχηματίζουμε αριθμούς (π.χ. , , , και ).
α) Αν όλοι οι αριθμοί που σχηματίσαμε είναι πρώτοι, να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματός τους.
β) Αν όλοι οι αριθμοί που σχηματίσαμε είναι σύνθετοι, να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματός τους.

Για το α).

Οι δεν μπορεί να είναι ψηφίο μονάδων, άρα δοκιμάζουμε να τους τοποθετήσουμε ως δεκάδες. Οπότε οι αριθμοί μας στην ιδεατή περίπτωση είναι της μορφής και οι υπόλοιποι τρεις ως μονάδες. Δηλαδή ως μονάδες έχουμε (μαζί με τους , τους . H σειρά τους δεν έχει σημασία αφού το άθροισμα δεν αλλάζει. Παρατητούμε ότι μπορούμε να βρούμε ψηφία στην θέση των ώστε οι να είναι πρώτοι: Μια επιλογή είναι η .

Συμπέρασμα: Η απάντηση στο ερώτημα είναι

[Mihalis_Lambrou]

Σε εννιά κάρτες είναι γραμμένοι οι αριθμοί και , ένας σε κάθε κάρτα. Χρησιμοποιώντας όλες τις κάρτες σχηματίζουμε αριθμούς (π.χ. , , , και ).
α) Αν όλοι οι αριθμοί που σχηματίσαμε είναι πρώτοι, να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματός τους.
β) Αν όλοι οι αριθμοί που σχηματίσαμε είναι σύνθετοι, να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματός τους.

Για το β).

Οι πέντε αριθμοί δεν μπορεί να εμφανίζονται ως μονοψήφιοι, αφού δεν είναι σύνθετοι. Άρα πρέπει να εμφανίζονται τουλάχιστον, ο καθένας, ως τμήμα διψήφιου. Άρα χρειαζόμαστε τουλάχιστον τρεις διψήφιους (αφού οι αριθμοί είναι πέντε). Οι πιο μικροί διφήφιοι έχουν την μορφή . Με άλλα λόγια η ιδεατή κατάσταση έχει αυτούς τους διψήφιους και τρεις ακόμη μονοψήφιοιυς επιλεγμένους από τους . Η σειρά των ψηφίων των μονάδων δεν έχει σημασία αφού το άθροισμά τους δεν άλλάζει. Με αυτά κατά νου κατασκευάζουμε σύνθετους π.χ. τους



Φυσικά μπορούμε και παραλλαγές τους όπως ή , και άλλους.