Ειδικό τρίγωνο

KARKAR · #1

: Ειδικό τρίγωνο.png (7.63 KiB) Προβλήθηκε 1197 φορές

Κατασκευάστε τρίγωνο ABC

, με ύψος $AD=\dfrac{BC}{2}$ και : BC+AD=AB+AC

.

Υπολογίστε και την $\tan A$ . Μπορείτε να απαντήσετε στα ερωτήματα με διαφορετική σειρά .

duamba · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 01, 2025 7:42 am Κατασκευάστε τρίγωνο , με ύψος $AD=\dfrac{BC}{2}$ και : .
Υπολογίστε και την $\tan A$ . Μπορείτε να απαντήσετε στα ερωτήματα με διαφορετική σειρά .

: eidiko.png (18.02 KiB) Προβλήθηκε 1170 φορές

Απο Π.Θ.
$\displaystyle{x^2 &= y^2 + 1}$
$\displaystyle{(3-x)^2 &= (2-y)^2 + 1}$

Με CAS βρίσκω
$\displaystyle{x = \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2}}$
$\displaystyle{y = 1 \pm \frac{3\sqrt{5}}{10}}$

$\displaystyle{\tan \phi &= y}$
$\displaystyle{\tan \theta &= 2-y}$
$\displaystyle{\tan(\phi+\theta) &= \frac{y + (2-y)}{1 - y(2-y)} = \frac{2}{1-2y+y^2}}$

αντικαθιστώντας ένα απο τα

βρίσκω
$\displaystyle{\boxed{\tan A &= \frac{40}{9}}}$

Ελπίζω το CAS να μην είναι μεγάλο φάουλ.
Προσπάθησα όλη μέρα να φτιάξω κατασκευή μόνο με κανόνα και διαβήτη αλλά δεν τα κατάφερα.

KARKAR · #3

: Κατασκευή με ανάποδη σειρά.png (21.96 KiB) Προβλήθηκε 1146 φορές

Αφού πρώτα υπολογίσουμε την $\tan A$ , προτείνω την παρακάτω κατασκευή ( το μέσο

της

είναι

το κέντρο του κύκλου (M , MB)

) . Φίλε

, δώσε μας κάποιες πληροφορίες για το CAS

#4

duamba έγραψε: Κυρ Μαρ 02, 2025 12:18 am
KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 01, 2025 7:42 am Κατασκευάστε τρίγωνο , με ύψος $AD=\dfrac{BC}{2}$ και : .
Υπολογίστε και την $\tan A$ . Μπορείτε να απαντήσετε στα ερωτήματα με διαφορετική σειρά .
eidiko.png

Απο Π.Θ.
$\displaystyle{x^2 &= y^2 + 1}$
$\displaystyle{(3-x)^2 &= (2-y)^2 + 1}$

Με CAS βρίσκω
$\displaystyle{x = \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2}}$
$\displaystyle{y = 1 \pm \frac{3\sqrt{5}}{10}}$

$\displaystyle{\tan \phi &= y}$
$\displaystyle{\tan \theta &= 2-y}$
$\displaystyle{\tan(\phi+\theta) &= \frac{y + (2-y)}{1 - y(2-y)} = \frac{2}{1-2y+y^2}}$

αντικαθιστώντας ένα απο τα βρίσκω
$\displaystyle{\boxed{\tan A &= \frac{40}{9}}}$

Ελπίζω το CAS να μην είναι μεγάλο φάουλ.
Προσπάθησα όλη μέρα να φτιάξω κατασκευή μόνο με κανόνα και διαβήτη αλλά δεν τα κατάφερα.

Ειδικό τρίγωνο Κατασκευή Στη γενική περίπτωση .

Έστω τμήμα BC = 2k = a

. Θεωρώ ευθεία g//BC

σε απόσταση από την $\boxed{h = k\, = \frac{a}{2}\,\,}$ .

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς την πιο πάνω παράλληλη .

Γράφω τον κύκλο $\Omega$ κέντρου

κι ακτίνας $\boxed{R = 3k}$ . Θεωρώ και άλλο τυχαίο κύκλο

με μόνη απαίτηση να διέρχεται

από τα σημεία $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B'$ . Οι δυο κύκλοι $\Omega \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,V$ τέμνονται κατά κοινή χορδή ,

.

Από το κοινό σημείο

των ευθειών , $JG\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BB'$ φέρνω εφαπτόμενο τμήμα ,

.

: Ειδικό τρίγωνο Κατασκευή.png (28.84 KiB) Προβλήθηκε 1137 φορές

Το κέντρο , έστω $A\,\,,$ του κύκλου $\left( {B\,,\,\,B'\,,F} \right)$ Είναι η Τρίτη κορυφή του τριγώνου που θέλω .

Πρόκειται για τη δεύτερη σπουδαία κατασκευή , Απολλώνιου κύκλου που διέρχεται από δυο δεδομένα σημεία ( $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B'$ )

Και εφάπτεται δεδομένου κύκλου ( εδώ του κύκλου $\Omega \to \left( {C\,\,\,,\,\,3k} \right)$ .

Εν γένει έχω δυο διαφορετικά τρίγωνα ή ένα ή κανένα καθόσον μπορούμε να φέρουμε από το

προς τον $\Omega$

Δυό ή ένα ή κανένα εφαπτόμενο τμήμα .

duamba · #5

Πολύ ωραίες και οι δύο κατασκευές, και αυτή με τον λόγο της εφαπτομένης και αυτή με τον Απολλώνιο κύκλο (ο οποίος επανεμφανίζεται σε όλα τα ωραία προβλήματα).

KARKAR έγραψε: Κυρ Μαρ 02, 2025 10:24 am Φίλε , δώσε μας κάποιες πληροφορίες για το CAS

Χρησιμοποιήσα τη λέξη CAS (ίσως κάπως αινιγματικά

) σαν συνώνυμο της λέξης "λογισμικό".
C.A.S. σημαίνει computer algebra system, δηλαδή κάποιο πρόγραμμα που λύνει εξισώσεις, παραγωγίζει, αντιστρέφει πίνακες κλπ.
Λίγα παραδείγματα (μεταξύ πολλών άλλων): sympy, maxima και φυσικά το geogebra.

#6

προς τον φίλο duamba

: Ειδικό τρίγωνο Κατασκευή_new.png (68.54 KiB) Προβλήθηκε 1093 φορές

Αν δεν τέμνονται οι κύκλοι $\Omega \,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,V$ , το ριζικό κέντρο , $P\,\,\,$ ,των δύο κύκλων προκύπτει από την τομή

του ριζικού τους άξονα , ευθείας, $\varepsilon \,\,\,$ με την ευθεία , BB'

.

duamba · #7

Είναι πράγματι ωραία η κατασκευή, μου θυμίζει ότι έχω πολλά να μάθω, όμως σε αυτό το forum με γεωμέτρες σαν και εσάς η προοπτική είναι αισιόδοξη!

#8

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 01, 2025 7:42 am Ειδικό τρίγωνο.pngΚατασκευάστε τρίγωνο , με ύψος $AD=\dfrac{BC}{2}$ και : .

Υπολογίστε και την $\tan A$ . Μπορείτε να απαντήσετε στα ερωτήματα με διαφορετική σειρά .

Έστω

η διχοτόμος του τριγώνου,

το έγκεντρο και

η προβολή του στην AB.

$\displaystyle b + c = \frac{{3a}}{2} \Leftrightarrow s = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{5a}}{4}$ και $\displaystyle \frac{{AI}}{{IE}} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{3}{2}$

$\displaystyle \frac{1}{2}a \cdot \frac{a}{2} = (ABC) = sr = \frac{{5a}}{4}r \Leftrightarrow r = \frac{a}{5}$ και $\displaystyle AF = s - a = \frac{a}{4}$

$\displaystyle \tan \frac{A}{2} = \frac{r}{{AF}} = \frac{4}{5}$ και εύκολα από τον τύπο της διπλάσιας γωνίας, $\boxed{\tan A=\frac{40}{9}}$

: Ειδικό τρίγωνο.Κ.png (13.38 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

Κατασκευή: Κατασκευάζω το ορθογώνιο τρίγωνο AFI

με κάθετες πλευρές $AF=\dfrac{a}{4}$ και $FI=\dfrac{a}{5}.$ Προεκτείνω την

κατά τμήμα $IE=\dfrac{2AI}{3}$ και από το

φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα

στον κύκλο $\displaystyle \left( {A,\frac{a}{2}} \right).$ Η

τέμνει την

στο

και στην προέκταση της

θεωρώ το σημείο

ώστε

Το

είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

Αλλιώς, γνωρίζοντας το η κορυφή κατασκευάζεται ως η τομή δύο γεωμετρικών τόπων. Της ευθείας

που είναι παράλληλη της και σε απόσταση $\dfrac{a}{2}$ από αυτήν και του κύκλου χορδής που δέχεται γνωστή

γωνία (η γωνία με γνωστή εφαπτομένη είναι κατασκευάσιμη).