Σύγκλιση Σειρών

xmaze · #1

Καλησπέρα, έχω μια απορία.

Αν έχω την σειρά 1/n που δεν συγκλίνει και έχω και την ίδια σειρά στην συνάρτηση του λογάριθμου, δηλαδή Σ log(1/x) πως μπορώ να αποδείξω ότι επίσης αποκλίνει;

ΥΓ: Σορρυ που δεν έβαλα εξισώσεις αλλά από το κινητό δεν μου το άνοιγε.

#2

xmaze έγραψε: Κυρ Μαρ 02, 2025 7:36 pm Καλησπέρα, έχω μια απορία.

Αν έχω την σειρά 1/n που δεν συγκλίνει και έχω και την ίδια σειρά στην συνάρτηση του λογάριθμου, δηλαδή Σ log(1/x) πως μπορώ να αποδείξω ότι επίσης αποκλίνει;

ΥΓ: Σορρυ που δεν έβαλα εξισώσεις αλλά από το κινητό δεν μου το άνοιγε.

Υποθέτω ότι στο άθροισμα εννοείς

και όχι

, δηλαδή η ερώτηση αφορά το $\displaystyle{\sum \log \dfrac {1}{n} }$ .

Επειδή η άσκηση είναι ιδιαίτερα απλή, θα δώσω μόνο υπόδειξη για να έχεις την χαρά να συμπληρώσεις μόνος σου το βήμα που λείπει.

Υπόδειξη: Ισχύει $\log \dfrac {1}{n} =-\log n$

xmaze · #3

Ευχαριστώ πολύ Μιχάλη αλλά η Σειρά είναι πιο περίπλοκη, απλά το έγραψα απλοικά για να βρω κάποια γενική θεωρία για όταν υπάρχει gof και η f συγκλίνει, η κανονική εξίσωση είναι $\log (1 + \dfrac {1}{\sqrt n})$

abfx · #4

xmaze έγραψε: Κυρ Μαρ 02, 2025 11:13 pm ... το έγραψα απλοικά για να βρω κάποια γενική θεωρία για όταν υπάρχει gof και η f συγκλίνει, η κανονική εξίσωση είναι $\log (1 + \dfrac {1}{\sqrt n})$

Καλησπέρα. Μήπως ψάχνεις κάτι σαν το ακόλουθο;

Έστω $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών. Τότε

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty \iff \sum_{n=1}^{\infty}\log (1+a_n)<\infty$

Tolaso J Kos · #5

xmaze έγραψε: Κυρ Μαρ 02, 2025 11:13 pm Ευχαριστώ πολύ Μιχάλη αλλά η Σειρά είναι πιο περίπλοκη, απλά το έγραψα απλοικά για να βρω κάποια γενική θεωρία για όταν υπάρχει gof και η f συγκλίνει, η κανονική εξίσωση είναι $\log (1 + \dfrac {1}{\sqrt n})$

$\displaystyle{\log \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right) \geq \frac{1}{2 \sqrt{n}}}$

xmaze · #6

$\displaystyle{\log \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right) \geq \frac{1}{2 \sqrt{n}}}$

Ευχαριστώ, αν σου είναι εύκολο να γράψεις κ τα βήματα, θα σου είμαι ευγνώμων

xmaze · #7

abfx έγραψε: Δευ Μαρ 03, 2025 12:03 am
xmaze έγραψε: Κυρ Μαρ 02, 2025 11:13 pm ... το έγραψα απλοικά για να βρω κάποια γενική θεωρία για όταν υπάρχει gof και η f συγκλίνει, η κανονική εξίσωση είναι $\log (1 + \dfrac {1}{\sqrt n})$
Καλησπέρα. Μήπως ψάχνεις κάτι σαν το ακόλουθο;

Έστω $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών. Τότε

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty \iff \sum_{n=1}^{\infty}\log (1+a_n)<\infty$

Που μπορώ να βρω την απόδειξη;

#8

xmaze έγραψε: Δευ Μαρ 03, 2025 9:32 am

$\displaystyle{\log \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right) \geq \frac{1}{2 \sqrt{n}}}$
Ευχαριστώ, αν σου είναι εύκολο να γράψεις κ τα βήματα, θα σου είμαι ευγνώμων

Υπάρχουν πολλοί τρόποι να το αποδείξεις αλλά θα δώσω μία υπόδειξη για να το βγάλεις μόνος σου (το

στον παρονομαστή δεν είναι απαραίτητο για την άσκησή σου, αλλά θα μπορούσε να αντικατασταθεί με οποιαδήποτε άλλη θετική σταθερά).

Υπόδειξη: Δείξε με l' Hospital $\displaystyle{ \lim_ {x\to 0} \dfrac {\log (1+x)} {x} =1}$ . Μετά αξιοποίησε το αποτέλεσμα για το θέμα σου.

abfx · #9

abfx έγραψε: Δευ Μαρ 03, 2025 12:03 am Έστω $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών. Τότε

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty \iff \sum_{n=1}^{\infty}\log (1+a_n)<\infty$

xmaze έγραψε: Δευ Μαρ 03, 2025 9:39 am Που μπορώ να βρω την απόδειξη;

Ακολούθησε την υπόδειξη στο προηγούμενο ποστ (#8). Τι παρατηρείς;

Αν δυσκολεύεσαι ή κολλάς κάπου μη διστάσεις να ξαναρωτήσεις.

xmaze · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Μαρ 03, 2025 9:42 am
xmaze έγραψε: Δευ Μαρ 03, 2025 9:32 am

$\displaystyle{\log \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right) \geq \frac{1}{2 \sqrt{n}}}$
Ευχαριστώ, αν σου είναι εύκολο να γράψεις κ τα βήματα, θα σου είμαι ευγνώμων
Υπάρχουν πολλοί τρόποι να το αποδείξεις αλλά θα δώσω μία υπόδειξη για να το βγάλεις μόνος σου (το στον παρονομαστή δεν είναι απαραίτητο για την άσκησή σου, αλλά θα μπορούσε να αντικατασταθεί με οποιαδήποτε άλλη θετική σταθερά).

Υπόδειξη: Δείξε με l' Hospital $\displaystyle{ \lim_ {x\to 0} \dfrac {\log (1+x)} {x} =1}$ . Μετά αξιοποίησε το αποτέλεσμα για το θέμα σου.

Αν το κατάλαβα καλά, σημαίνει όταν το χ πάει στο μηδέν, η εφαπτόμενη είναι μικρότερη απο τον λογάριθμο και οπότε συγκλίνουν.

#11

xmaze έγραψε: Δευ Μαρ 03, 2025 9:47 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Μαρ 03, 2025 9:42 am ...
Υπόδειξη: Δείξε με l' Hospital $\displaystyle{ \lim_ {x\to 0} \dfrac {\log (1+x)} {x} =1}$ . Μετά αξιοποίησε το αποτέλεσμα για το θέμα σου.
Αν το κατάλαβα καλά, σημαίνει όταν το χ πάει στο μηδέν, η εφαπτόμενη είναι μικρότερη απο τον λογάριθμο και οπότε συγκλίνουν.

Δυστυχώς αυτό που γράφεις δεν έχει νόημα. Πρώτα απ' όλα δεν υπάρχει εφαπτομένη στο προσκήνιο.

Ίσως κάτι άλλο θέλεις να πεις και δεν το διατυπώνεις σωστά. Πάντως, έτσι όπως είναι γραμμένο τώρα, απέχει πολύ από την πραγματικότητα. Με χαρά θα σε βοηθήσουμε, αλλά πρέπει πρώτα να καταλάβουμε τι λες.

xmaze · #12

καταλαβα το εξής : $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to 0} \log(1 + x) = \lim_{x \to 0} x \geq \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x$

Λήψη ggb

#13

xmaze έγραψε: Τρί Μαρ 04, 2025 6:14 pm καταλαβα το εξής : $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to 0} \log(1 + x) = \lim_{x \to 0} x \geq \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x$

Διαισθάνομαι ότι δεν έχεις ξεκαθαρίσει τα πράγματα στο μυαλό σου: Αν με το παραπάνω εννοείς

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} g(x)$

τότε έχουμε πρόβλημα:
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

xmaze · #14

ναι, εκανα λάθος, η αληθεια ηταν οτι δεν μου κολλαγε, αλλά παρολα αυτα το εγραψα για να με διορθωσεις. Αν μπορεις δωσε καμια πληροφορια ακόμη για να το δουλεψω λίγο ακομη. Εχω κολλησει για την ωρα.

#15

xmaze έγραψε: Τετ Μαρ 05, 2025 12:08 am ναι, εκανα λάθος, η αληθεια ηταν οτι δεν μου κολλαγε, αλλά παρολα αυτα το εγραψα για να με διορθωσεις. Αν μπορεις δωσε καμια πληροφορια ακόμη για να το δουλεψω λίγο ακομη. Εχω κολλησει για την ωρα.

Βάζω πλήρη λύση:

Από l' Hospital, περίπτωση $\dfrac {0}{0}$ , έχουμε $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \dfrac {\log (1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac {\dfrac {1}{x+1} }{1} =1}$

Άρα υπάρχει υπάρχει περιοχή του

με $\dfrac {\log (1+x)}{x}\ge \dfrac {1}{2}$ σε αυτήν. Έπεται ότι από κάποιο n_0

και πέρα, είναι

$\log \left (1+ \dfrac {1}{\sqrt n }\right )\ge \dfrac {1}{2} \dfrac {1}{\sqrt n }$

Συμπεραίνουμε από το κριτήριο σύγκρισης ότι η σειρά $\displaystyle{ \sum _{n=1}^{\infty}\log \left (1+ \dfrac {1}{\sqrt n }\right )}$ αποκλίνει αφού αποκλίνει η $\displaystyle{ \sum _{n=1}^{\infty} \dfrac {1}{\sqrt n }}$

Σύγκλιση Σειρών

Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Re: Σύγκλιση Σειρών

Μέλη σε σύνδεση