Ψευτοδιάμεσος

KARKAR · #1

: Ψευτοδιάμεσος.png (6.73 KiB) Προβλήθηκε 1383 φορές

$\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, το

είναι σημείο της υποτείνουσας

,

τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{BC}{3}$ . Υπολογίστε την διάμεσο

του τριγώνου CAS

.

duamba · #2

Απο Π.Θ.
$a^2 = 18^2 + 24^2 \Rightarrow a = 30$

Άρα
BS = 10, CS = 20

Απο νόμο ημιτόνων:
$\displaystyle \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{30} = \frac{\sin(C)}{24} \Rightarrow \sin(C) = \frac{24}{30} \Rightarrow \cos(C) = \sqrt{1 - \left(\frac{24}{30}\right)^2} = \frac{3}{5}$

Απο νόμο συνημιτόνων:
$\displaystyle SA^2 = 18^2 + 20^2 - 2 \cdot 18 \cdot 90 \cdot \frac{3}{5} = 292$

Απο θεώρημα Απολλωνίου:
$\displaystyle 18^2 + 20^2 = 2CM^2 + \frac{1}{2} \cdot 292 \Rightarrow \boxed{CM = 17}$

KARKAR · #3

Φίλε

: Οι ασκήσεις με αστερίσκο , αφήνονται για

ώρες μόνο σε μαθητές ( προφανώς , κάτι

που δεν γνώριζες ) . Το συνημίτονο βρίσκεται ευκολότερα με ... τον ορισμό : $\cos C=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$ .

duamba · #4

, συγγνώμη για τα παραστρατήματα

Ιστοσελίδα · #5

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 04, 2025 7:54 pm $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι σημείο της υποτείνουσας ,

τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{BC}{3}$ . Υπολογίστε την διάμεσο του τριγώνου .

: shape.png (18.23 KiB) Προβλήθηκε 1330 φορές

#6

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 04, 2025 7:54 pm Ψευτοδιάμεσος.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι σημείο της υποτείνουσας ,

τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{BC}{3}$ . Υπολογίστε την διάμεσο του τριγώνου .

.
Mε Αναλυτική, η οποία δεν απαιτεί καθόλου σκέψη:

Με αρχή των αξόνων το

είναι $B(24,0), \, C(0,18)$ και άρα το

που διαιρεί το

σε λόγο

είναι το

. Άρα το μέσον

του

είναι το

. Συμπεραίνουμε ότι

$CM= \sqrt {(0-8)^2+(18-3)^2}=17$

#7

Πολύ έξυπνο που Οι Μιχάλης και... Μιχάλης μετασχημάτισαν το ζητούμενο σαν υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου, πυθαγόρειας τριάδας .

Πολύ πιθανόν και ο Θανάσης έφτιαξε την άσκηση με αυτό το σκεφτικό !.

STOPJOHN · #8

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 04, 2025 7:54 pm Ψευτοδιάμεσος.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι σημείο της υποτείνουσας ,

τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{BC}{3}$ . Υπολογίστε την διάμεσο του τριγώνου .

$NMP//AC,CN=NS=SP=\dfrac{30}{3}=10,NP//AC,NP=9,cos\hat{CNM}=\dfrac{-3}{5}$ ,Από Π.Θ βρήκα BC=30

και στο τρίγωνο CMN

από νόμο συνημιτόνων $AS^{2}=100+81+4.27=289\Leftrightarrow AS=17$

#9

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 04, 2025 7:54 pm Ψευτοδιάμεσος.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι σημείο της υποτείνουσας ,

τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{BC}{3}$ . Υπολογίστε την διάμεσο του τριγώνου .

Ας είναι

ορθογώνιο και η

τέμνει την

στο

.

Επειδή στο ορθογώνιο $\vartriangle ABC$ ,

$\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{24}}{{18}} = \dfrac{{4 \cdot 6}}{{3 \cdot 6}} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow BC = 6 \cdot 5 = 30$ .
.

: Ψεφτοδιάμεσος.png (14.14 KiB) Προβλήθηκε 1290 φορές

.
Από τα όμοια τρίγωνα , $ASC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,NSB$ έχω , $\dfrac{{NB}}{{18}} = \dfrac{{20}}{{10}} = 2 \Rightarrow BN = ND = 9$ . θα είναι AM = MS = SN = k

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle BNA$ έχω,

$AN = 3\sqrt {73}$ οπότε από το 1ο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle CAS\,\,\mu \varepsilon \,\,SM = x$ θα είναι :

$\boxed{x = \frac{{\sqrt {{{20}^2} + {{18}^2} - 2 \cdot 73} }}{2} = 17}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #10

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 04, 2025 7:54 pm Ψευτοδιάμεσος.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι σημείο της υποτείνουσας ,

τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{BC}{3}$ . Υπολογίστε την διάμεσο του τριγώνου .

Το Π.Θ δίνει BC=30

. Με

συμμετρικό του

ως προς

,το

είναι κ.βάρους του τριγώνου ADC

Έτσι

και $CS= \dfrac{2}{3}BC=20$ .Επιπλέον,το Π.Θ δίνει

$CD=2 \sqrt{657} \Rightarrow CN=3m= \sqrt{657} \Rightarrow 2m= \dfrac{2}{3} \sqrt{657}$

Τώρα,εύκολα από το θ.διαμέσου στο τρίγωνο ACS

ή

παίρνουμε

: diamesos.png (25.73 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #11

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Τετ Μαρ 05, 2025 6:28 am
KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 04, 2025 7:54 pm $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι σημείο της υποτείνουσας ,

τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{BC}{3}$ . Υπολογίστε την διάμεσο του τριγώνου .
shape.png

Ψευτοδιάμεσος

Ψευτοδιάμεσος

Re: Ψευτοδιάμεσος

Re: Ψευτοδιάμεσος

Re: Ψευτοδιάμεσος

Re: Ψευτοδιάμεσος

Re: Ψευτοδιάμεσος

Re: Ψευτοδιάμεσος

Re: Ψευτοδιάμεσος

Re: Ψευτοδιάμεσος

Re: Ψευτοδιάμεσος

Re: Ψευτοδιάμεσος

Μέλη σε σύνδεση