Ψηλότερα δεν πάει

[KARKAR]

Ψηλότερα δεν πάει.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές

Σημείο , κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Ευθεία διερχόμενη από το και το μέσο

της χορδής , τέμνει το ημικύκλιο και στο . Βρείτε την μέγιστη απόσταση του από την .

[george visvikis]

Ψηλότερα δεν πάει.pngΣημείο , κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Ευθεία διερχόμενη από το και το μέσο

της χορδής , τέμνει το ημικύκλιο και στο . Βρείτε την μέγιστη απόσταση του από την .

Ψηλότερα δεν πάει.png (19.81 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

όταν

[Mihalis_Lambrou]

Σημείο , κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Ευθεία διερχόμενη από το και το μέσο

της χορδής , τέμνει το ημικύκλιο και στο . Βρείτε την μέγιστη απόσταση του από την .

.
O γεωμετρικός τόπος του μέσου είναι ομοιόθετο ημικύκλιο με λόγο ομοιότητας . Το ζητούμενο είναι, ισοδύναμα, η ψηλότερη θέση που μπορεί να πάρει η διατέμνουσα . Προφανώς πρόκειται για την εφαπτομένη στον μικρό κύκλο. Οπότε το ζητούμενο μέγιστο είναι το το οποίο υπολογίζεται εύκολα με διάφορους τρόπους. Π.χ. είναι το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου . Αφήνω τις λεπτομέρειες των πράξεων ως γνωστό θέμα, άλλωστε το μήκος αυτό υπάρχει στην απάντηση του Γιώργου.
.

[george visvikis]

Σημείο , κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Ευθεία διερχόμενη από το και το μέσο

της χορδής , τέμνει το ημικύκλιο και στο . Βρείτε την μέγιστη απόσταση του από την .

.
O γεωμετρικός τόπος του μέσου είναι ομοιόθετο ημικύκλιο με λόγο ομοιότητας . Το ζητούμενο είναι, ισοδύναμα, η ψηλότερη θέση που μπορεί να πάρει η διατέμνουσα . Προφανώς πρόκειται για την εφαπτομένη στον μικρό κύκλο. Οπότε το ζητούμενο μέγιστο είναι το το οποίο υπολογίζεται εύκολα με διάφορους τρόπους. Π.χ. είναι το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου . Αφήνω τις λεπτομέρειες των πράξεων ως γνωστό θέμα, άλλωστε το μήκος αυτό υπάρχει στην απάντηση του Γιώργου.
.

Πολύ έξυπνη αντιμετώπιση Μιχάλη

Η δική μου λύση είναι καθαρά μετρική με πολλές πράξεις. Θα την γράψω αργότερα, αν δεν βρω κάτι καλύτερο.

[αρψ2400]

υmax=\frac{2\sqrt{2} \, d}{9}

[george visvikis]

Ψηλότερα δεν πάει.pngΣημείο , κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Ευθεία διερχόμενη από το και το μέσο

της χορδής , τέμνει το ημικύκλιο και στο . Βρείτε την μέγιστη απόσταση του από την .

Βρήκα λύση καλύτερη από την αρχική μου.

Έστω Αν για το σημείο έχουμε τη μέγιστη τιμή του τότε για κάθε άλλη θέση του στο ημικύκλιο,

το θα κινείται στο τόξο και θα είναι Αναζητούμε λοιπόν την ελάχιστη τιμή του

Ψηλότερα δεν πάει.β.png (22.18 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές

Προφανώς το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου άρα και

Οι έχουν λοιπόν σταθερό γινόμενο, άρα το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο όταν

Στη θέση αυτή είναι και εύκολα πλέον από την ομοιότητα των τριγώνων

προκύπτει ότι