Τουλάχιστον 4 σημεία σε κύκλο

#1

Δίνεται ο ακέραιος αριθμός $\displaystyle{a\geq 6}$ και ο μη αρνητικός ακέραιος $\displaystyle{n}$ .
Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AB}$ το οποίο έχει μήκος $\displaystyle{\sqrt{2a^2 +50}}$ .
(a) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{a , n}$ υπάρχουν τουλάχιστον $\displaystyle{4}$ σημεία πάνω στον κύκλο διαμέτρου $\displaystyle{AB}$ ,
έτσι ώστε οι αποστάσεις αυτών από τα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ , να είναι ακέραιοι αριθμοί.
(b) Δείξτε ότι είναι δυνατόν να υπάρχουν τουλάχιστον $\displaystyle{8}$ τέτοια σημεία πάνω στον κύκλο, για κάποιες τιμές των $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{n}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το

είναι σταθερό κατά θέση και μέγεθος.

#2

Επαναφορά!

#3

[quote="ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ" post_id=363284 time=1703193534 user_id=2921]
Δίνεται ο ακέραιος αριθμός $\displaystyle{a\geq 6}$ και ο μη αρνητικός ακέραιος $\displaystyle{n}$ .
Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AB}$ το οποίο έχει μήκος $\displaystyle{\sqrt{2a^2 +50}}$ .
(a) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{a , n}$ υπάρχουν τουλάχιστον $\displaystyle{4}$ σημεία πάνω στον κύκλο διαμέτρου $\displaystyle{AB}$ ,
έτσι ώστε οι αποστάσεις αυτών από τα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ , να είναι ακέραιοι αριθμοί.
(b) Δείξτε ότι είναι δυνατόν να υπάρχουν τουλάχιστον $\displaystyle{8}$ τέτοια σημεία πάνω στον κύκλο, για κάποιες τιμές των $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{n}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το

είναι σταθερό κατά θέση και μέγεθος.
[/quote]

Κάτι δεν πάει καλά με την άσκηση (τυπογραφικό;) δεδομένου ότι το

υπάρχει στην αρχή της εκφώνησης αλλά δεν εμφανίζεται σε άλλη παράσταση. 'Οπως και να είναι, κάνω την λύση του α) αγνοώντας το

(περιττεύει).

Κοιτάμε το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με κάθετες $CA=a-5, \, CB=a+5$ και υποτείνουσα $AB=\sqrt{2a^2 +50}$ . Υπόψη ότι είναι οροθογώνιο αφού $(a-5)^2+(a+5)^2=2a^2+50= (\sqrt{2a^2 +50})^2$ . Φυσικά η κορυφή του

βρίσκεται στον κύκλο διαμέτρου

και απέχει ακέραια απόσταση από τα A,B

. Υπάρχουν

τέτοια τρίγωνα, συμμετρικά, τελειώσαμε.

Ξέρω λύση και του β) αλλά θα περιμένω διόρθωση της εκφώνησης από τον θεματοθέτη και φίλο Δημήτρη.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Μαρ 02, 2025 7:12 am
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Πέμ Δεκ 21, 2023 11:18 pm Δίνεται ο ακέραιος αριθμός $\displaystyle{a\geq 6}$ και ο μη αρνητικός ακέραιος $\displaystyle{n}$ .
Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AB}$ το οποίο έχει μήκος $\displaystyle{\sqrt{2a^2 +50}}$ .
(a) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{a , n}$ υπάρχουν τουλάχιστον $\displaystyle{4}$ σημεία πάνω στον κύκλο διαμέτρου $\displaystyle{AB}$ ,
έτσι ώστε οι αποστάσεις αυτών από τα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ , να είναι ακέραιοι αριθμοί.
(b) Δείξτε ότι είναι δυνατόν να υπάρχουν τουλάχιστον $\displaystyle{8}$ τέτοια σημεία πάνω στον κύκλο, για κάποιες τιμές των $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{n}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το είναι σταθερό κατά θέση και μέγεθος.
Κάτι δεν πάει καλά με την άσκηση (τυπογραφικό;) δεδομένου ότι το υπάρχει στην αρχή της εκφώνησης αλλά δεν εμφανίζεται σε άλλη παράσταση. 'Οπως και να είναι, κάνω την λύση του α) αγνοώντας το (περιττεύει).

Κοιτάμε το ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες $CA=a-5, \, CB=a+5$ και υποτείνουσα $AB=\sqrt{2a^2 +50}$ . Υπόψη ότι είναι οροθογώνιο αφού $(a-5)^2+(a+5)^2=2a^2+50= (\sqrt{2a^2 +50})^2$ . Φυσικά η κορυφή του βρίσκεται στον κύκλο διαμέτρου και απέχει ακέραια απόσταση από τα . Υπάρχουν τέτοια τρίγωνα, συμμετρικά, τελειώσαμε.

Ξέρω λύση και του β) αλλά θα περιμένω διόρθωση της εκφώνησης από τον θεματοθέτη και φίλο Δημήτρη.

Καλό απόγευμα Μιχάλη.

Πράγματι, υπάρχει ένα τυπογραφικό λάθος . Αντί $\displaystyle{\sqrt{2a^2 +50}}$ , πρέπει να γραφτεί: $\displaystyle{\sqrt{2a^2 +50n^2}$ .

Η λύση για την πρώτη ερώτηση είναι αυτή που έγραψες με μια προφανή μικρή τροποποίηση (αντί για CA=a-5 , CB=a+5

, πρέπει να γράψουμε

$\displaystyle{CA=a-5n , CB=a+5n}$ .)

Για την δεύτερη ερώτηση, μπορούμε να πάρουμε π.χ a=10 , n=1

. Τότε $\sqrt{2a^2 +50n^2} = \sqrt{250}$

Παρατηρούμε ότι $5^2 +15^2 =(\sqrt{250})^2$ , οπότε έχουμε τα τέσσερα σημεία που ζητάμε στον κύκλο

Επίσης παρατηρούμε ότι $9^2 +13^2 =(\sqrt{250})^2$ , οπότε έχουμε ακόμα τέσσερα διαφορετικά σημεία στον κύκλο μας.

Συνεπώς βρήκαμε οκτώ τουλάχιστον σημεία του κύκλου τέτοια ώστε οι αποστάσεις τους από τα $\displaystyle{A , B}$ να είναι ακέραιοι αριθμοί.

Τουλάχιστον 4 σημεία σε κύκλο

Τουλάχιστον 4 σημεία σε κύκλο

Re: Τουλάχιστον 4 σημεία σε κύκλο

Re: Τουλάχιστον 4 σημεία σε κύκλο

Re: Τουλάχιστον 4 σημεία σε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση