Μία ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ώστε $\left| f(x) \right| \leq 1$ για κάθε $x \in [0, 1]$ . Αν $\int_0^{1/2} f(x) \, \mathrm{d}x =0$ , να δειχθεί ότι $\left| \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right| \leq \frac{1}{4}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 10:07 am Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ώστε $\left| f(x) \right| \leq 1$ για κάθε $x \in [0, 1]$ . Αν $\int_0^{1/2} f(x) \, \mathrm{d}x =0$ , να δειχθεί ότι $\left| \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right| \leq \frac{1}{4}$ .

Κάτι δεν πάει καλά.

abgd · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 6:33 pm
Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 10:07 am Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ώστε $\left| f(x) \right| \leq 1$ για κάθε $x \in [0, 1]$ . Αν $\int_0^{1/2} f(x) \, \mathrm{d}x =0$ , να δειχθεί ότι $\left| \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right| \leq \frac{1}{4}$ .
Κάτι δεν πάει καλά.

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} cos(2\pi x) &, &x\in \left[0,\dfrac{1}{2}\right] \\ \\ -1 &, & x\in \left(\dfrac{1}{2},1\right] \\ \end{matrix}\right.}$

Είναι

$\left| f(x) \right| \leq 1$ για κάθε $x \in [0, 1]$ .

$\int_0^{1/2} f(x) \, \mathrm{d}x =0$ ,

$\left| \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right| = \dfrac{1}{2}$ .

abfx · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 6:33 pm Κάτι δεν πάει καλά.

Εικάζω ότι η σωστή εκφώνηση είναι:

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 10:07 am Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ώστε $\left| f'(x) \right| \leq 1$ για κάθε $x \in [0, 1]$ . Αν $\int_0^{1/2} f(x) \, \mathrm{d}x =0$ , να δειχθεί ότι $\left| \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right| \leq \frac{1}{4}$ .

Tolaso J Kos · #5

abfx έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 7:51 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 6:33 pm Κάτι δεν πάει καλά.
Εικάζω ότι η σωστή εκφώνηση είναι:
Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 10:07 am Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ώστε $\left| f'(x) \right| \leq 1$ για κάθε $x \in [0, 1]$ . Αν $\int_0^{1/2} f(x) \, \mathrm{d}x =0$ , να δειχθεί ότι $\left| \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right| \leq \frac{1}{4}$ .

Έφαγα τον τόνο, ε; Ναι, Κώστα αυτή είναι.

abgd · #6

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 8:30 pm
abfx έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 7:51 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 6:33 pm Κάτι δεν πάει καλά.
Εικάζω ότι η σωστή εκφώνηση είναι:
Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μαρ 08, 2025 10:07 am Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ώστε $\left| f'(x) \right| \leq 1$ για κάθε $x \in [0, 1]$ . Αν $\int_0^{1/2} f(x) \, \mathrm{d}x =0$ , να δειχθεί ότι $\left| \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right| \leq \frac{1}{4}$ .

Έφαγα τον τόνο, ε; Ναι, Κώστα αυτή είναι.

Είναι

$\left| \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right|=\left| \int_{1/2}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right|$ αφού $\int_0^{1/2} f(x) \, \mathrm{d}x =0$ .

Για x:1-x

$\left| \int_{1/2}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right|=\left|\int_0^{1/2} f(1-x) \, \mathrm{d}x \right| =\left|\int_0^{1/2} \left(f(1-x)-f(x)\right) \, \mathrm{d}x \right| \leq \int_0^{1/2} \left|f(1-x)-f(x)\right| \, \mathrm{d}x$

Έτσι, αρκεί να δείξουμε ότι

$\boxed{\int_0^{1/2} \left|f(1-x)-f(x)\right| \, \mathrm{d}x \leq \dfrac{1}{4}}$

Για $x \in [0,1/2)$ , από το Θ.Μ.Τ., υπάρχει $\xi \in (x,1-x)$ τέτοιο ώστε $\dfrac{f(1-x)-f(x)}{1-2x}=f'(\xi)$ .

Αφού $|f'(\xi)|\leq 1$ θα είναι: $|f(1-x)-f(x)|\leq 1-2x$ , το οποίο ισχύει και για x=1/2

.

Έτσι

$\boxed{\int_0^{1/2} \left|f(1-x)-f(x)\right| \, \mathrm{d}x \leq \int_0^{1/2}(1-2x) \, \mathrm{d}x=\dfrac{1}{4}}$

Μία ανισότητα

Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση