Οριο και ολοκλήρωμα

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλησπέρα.
Μια άσκηση με όριο (συνάρτησης) ολοκληρώματος που έχει τη δυσκολία της είναι η εξής:

Να υπολογισθεί το όριο

$\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to {0^ + }} \int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} {\frac{{{e^{\frac{1}{t}}}}}{t}} dt}$

Θωμάς

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mathxl · #2

Είναι
$\displaystyle{I = \int\limits_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} {\frac{{{e^{\frac{1}{t}}}}}{t}dt} \mathop = \limits_{dt = - \frac{{du}}{{{u^2}}}}^{t = \frac{1}{u}} \int\limits_{\frac{x}{2}}^x {\frac{{{e^u}}}{u}du} }$
Για χ > 0
$\displaystyle{\frac{x}{2} \le u \le x \Rightarrow {e^{\frac{x}{2}}} \le {e^u} \le {e^x} \Rightarrow \frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{u} \le \frac{{{e^u}}}{u} \le \frac{{{e^x}}}{u}}$

ολοκληρώνοντας έχουμε
$\displaystyle{{e^{\frac{x}{2}}}\ln 2 \le I \le {e^x}\ln 2}$
από ΚΠ΄για χ στο 0 από δεξιά παίρνουμε το ζητούμενο

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

mathxl έγραψε:Είναι
$\displaystyle{I = \int\limits_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} {\frac{{{e^{\frac{1}{t}}}}}{t}dt} \mathop = \limits_{dt = - \frac{{du}}{{{u^2}}}}^{t = \frac{1}{u}} \int\limits_{\frac{x}{2}}^x {\frac{{{e^u}}}{u}du} }$
Για χ > 0
$\displaystyle{\frac{x}{2} \le u \le x \Rightarrow {e^{\frac{x}{2}}} \le {e^u} \le {e^x} \Rightarrow \frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{u} \le \frac{{{e^u}}}{u} \le \frac{{{e^x}}}{u}}$

ολοκληρώνοντας έχουμε
$\displaystyle{{e^{\frac{x}{2}}}\ln 2 \le I \le {e^x}\ln 2}$
από ΚΠ΄για χ στο 0 από δεξιά παίρνουμε το ζητούμενο

Ναι Βασίλη έτσι το σκέφτηκα και εγώ.
Να πω όμως και την αλήθεια μόνο όταν είδα την απάντηση κατάλαβα τι έπρεπε να κάνω αν και είχα κάνει την αλλαγή της μεταβλητής.
Θωμάς

mathxl · #4

Παρόμοιας λογικής όρια έχουμε και εδώ viewtopic.php?f=54&t=5667. Δύσκολο όριο και το εξής viewtopic.php?f=54&t=5750 αλλά κα αυτό viewtopic.php?f=54&t=6200, για να είναι λίγο συγκεντρωμένα

#5

Ένας ακόμα τρόπος :

$\displaystyle{\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}\frac{e^{\frac{1}{t}}}{t}\,dt=\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\big(\frac{1}{t}\big)^{n}}{tn!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}\frac{1}{t^{n+1}}\,dt=\ln t\Big|_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n!}\Big(\frac{t^{-n}}{-n}\Big)\Big|_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}=\ln2+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n!}\frac{2^{n}-1}{2n}x^{n}\stackrel{x\to0^+}{\longrightarrow}\ln2}$ .

APO · #6

Αν δεν κάνω λάθος

#7

APO έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος

Σωστά.

Όμως ας προσθέσω αυτή είναι και η μέθοδος του Βασίλη (mathxl) παραπάνω. Η μόνη διαφορά είναι ότι ο Βασίλης έβαλε 1/t = u για να είναι ευκολότερες οι πράξεις. Αλλιώς, από μαθηματικής πλευράς, είναι η ίδια μέθοδος.

Μ.

Οριο και ολοκλήρωμα

Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα

Re: Οριο και ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση