Θέση βαρύκεντρου

#1

: Θέση βαρύκεντρου.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 999 φορές

είναι τα ύψη και

η διάμεσος ενός μη ορθογωνίου τριγώνου ABC.

Αν

τέμνονται στο βαρύκεντρο

του τριγώνου, να βρείτε μία σχέση μεταξύ των πλευρών του.

#2

Ένας τρόπος....

Έστω

το τρίτο ύψος του τριγώνου,

το ορθόκεντρό του και

η προβολή του

στη διάμεσο

.

Στον κύκλο EBCD

η πολική του

είναι η

, επομένως έχουμε την αρμονική τετράδα A,K,G, M

,από όπου παίρνουμε KG:KM=2:3.

Επειδή

, θα πάρουμε GK=2AM:15

, και άμεσα AK=12AM:15

.

Στον κύκλο HZMK

είναι

Είναι γνωστό ότι AH=a/tanA

(απλό). Έτσι, στην παραπάνω ισότητα, όλα τα εμφανιζόμενα τμήματα εκφράζονται συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου, όποτε, μετά την αντικατάστασή τους, προκύπτει μια σχέση, που μπορούμε να πούμε ότι είναι η ζητούμενη.

#3

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 30, 2025 10:59 am
Ένας τρόπος....

Έστω το τρίτο ύψος του τριγώνου, το ορθόκεντρό του και η προβολή του στη διάμεσο .

Στον κύκλο η πολική του είναι η , επομένως έχουμε την αρμονική τετράδα ,από όπου παίρνουμε

Επειδή , θα πάρουμε , και άμεσα .

Στον κύκλο είναι

Σ' ευχαριστώ Κώστα. Συνεχίζω από εδώ και κάτω.

Αρχικά παρατηρώ ότι η $\widehat A$ πρέπει να είναι οξεία.

: Θέση βαρύκεντρου.β.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

$\displaystyle 2R\cos A \cdot \frac{{bc}}{{2R}} = \frac{4}{5}A{M^2} \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{5} \Leftrightarrow$ $\boxed{b^2+c^2=3a^2}$

Μου κάνει εντύπωση, Κώστα, που έλυσες όλη την άσκηση και δεν έκανες
τον κόπο να γράψεις μια σειρά που δίνει το τελικό αποτέλεσμα

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 30, 2025 1:35 pm
Μου κάνει εντύπωση, Κώστα, που έλυσες όλη την άσκηση και δεν έκανες
τον κόπο να γράψεις μια σειρά που δίνει το τελικό αποτέλεσμα

Γιώργο, Φίλε, έτσι είναι όπως τα λες.

Θα συμφωνήσεις μαζί μου, ότι στη λύση αυτή το κλειδί είναι η εύρεση της σχέσης GK:KM=2:3. Μετά, το λοιπά είναι διαδικαστικά για τον φάκελο αυτό.

Υγ.
Ήμουν απορροφημένος στο αντίστροφο.

#5

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 30, 2025 8:28 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 30, 2025 1:35 pm
Μου κάνει εντύπωση, Κώστα, που έλυσες όλη την άσκηση και δεν έκανες
τον κόπο να γράψεις μια σειρά που δίνει το τελικό αποτέλεσμα
Γιώργο, Φίλε, έτσι είναι όπως τα λες.

Θα συμφωνήσεις μαζί μου, ότι στη λύση αυτή το κλειδί είναι η εύρεση της σχέσης GK:KM=2:3. Μετά, το λοιπά είναι διαδικαστικά για τον φάκελο αυτό.

Υγ.
Ήμουν απορροφημένος στο αντίστροφο.

Πράγματι, Κώστα, η σχέση $\displaystyle \frac{{GK}}{{KM}} = \frac{2}{3}$ είναι όλα τα λεφτά

Μιας και ανέφερες το αντίστροφο, να πω ότι η άσκηση είναι από τον Β' τόμο Τριγωνομετρίας του Ι. Πανάκη (άλυτη).
Εκεί ζητούσε το αντίστροφο. Έδινε τη σχέση των πλευρών και ζητούσε να αποδειχτεί η θέση του βαρύκεντρου.
Να συμπληρώσω, ότι η δική μου λύση είναι μακροσκελής και χρονοβόρα και δεν χρειάζεται να τη γράψω.

Θέση βαρύκεντρου

Θέση βαρύκεντρου

Re: Θέση βαρύκεντρου

Re: Θέση βαρύκεντρου

Re: Θέση βαρύκεντρου

Re: Θέση βαρύκεντρου

Μέλη σε σύνδεση