1-1 στὸ σύνορο έπεται 1-1 στο ἐσωτερικό

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Πρόβλημα. Ἔστω ὁ ἀνοικτὸς μοναδιαῖος δίσκος στὸ $\mathbb C$ καὶ $f:\overline{D}\to\mathbb C$ , συνεχὴς συνάρτηση, ἡ ὁποία εἶναι ὁλόμορφη στὸ . Ἂν ἡ εἶναι ἕνα-πρὸς-ἕνα στὸν μοναδιαῖο κύκλο $\partial D$ , τότε δείξατε ὅτι εἶναι ἕνα-πρὸς-ἕνα καὶ στὸν κλειστὸ δίσκο $\overline{D}$ .

Σημείωση. Εἶχα θέσει στὸ παρελθὸν μία ἐλαφρῶς ἀσθενέστερη ἐκδοχὴ τοῦ προτεινόμένου προβλήματος: https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 72#p342672 χωρὶς νὰ λάβω ἀπάντηση. Θὰ δώσω ἀπάντηση τοῦ παρόντος σὲ λίγες μέρες, ἐφ᾽ ὅσον δὲν μὲ προλάβει κάποιος.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Ἀπόδειξη. Ἔστω $\gamma_r(t)=f(re^{it}),$ ὅπου $\,t\in [0,2\pi]$ , καὶ $\,r\in (0,1]$ . Καθὼς ἡ

εἶναι ἐξ ὑποθέσεως ἕνα-πρὸς-ἕνα, ὅταν περιορισθεῖ στὸν μοναδιαῖο κύκλο, τότε ἡ $\gamma_1$ εἶναι ἁπλὴ κλειστὴ καμπύλη.

Σύμφωνα μὲ τὸ Θεώρημα τῆς Καμπύλης Jordan, τὸ συμπλήρωμά τῆς $\gamma_1$ ἀποτελεῖται ἀπὸ ἀκριβῶς δύο συνεκτικὲς συνιστῶσες, μία φραγμένη W_1

, τὸ ἐσωτερικὸ τῆς $\gamma_1$ , καὶ μία μὴ φραγμένη W_2

, τό ἐξωτερικὸ τῆς $\gamma_1$ . Ἐπίσης, ὁ δείκτης στροφῆς $\,\mathrm{Ind}_{\gamma_1}(w)\,$ τῆς $\gamma_1$ εἶναι σταθερὸς σὲ κάθε μία ἀπὸ τὶς δύο συνεκτικὲς συνιστῶσες, καὶ εἶναι ἴσος μὲ 0, διὰ κάθε $\,w\in W_2$ , ἐνῶ εἶναι ἴσος μὲ 1 ἢ -1, ὡς πρὸς κάθε $\,w\in W_1$ .

Ἰσχυρισμός. f(D)=W_1

καὶ κάθε στοιχεῖο $w\in W_1$ ἀποτελεῖ εἰκόνα ἀκριβῶς ἑνὸς στοιχείου τοῦ

.

Ἀπόδειξη τοῦ Ἰσχυρισμοῦ. Ἔστω λοιπὸν $w\not\in\gamma_1,$ καὶ ἄρα $d=\mathrm{dist}(\gamma_1,w)>0.$ Ἄμεσα προκύπτει ὅτι $\gamma_r\to\gamma_1,$ ὁμοιόμορφα, καθὼς $r\to 1,$ καὶ ἄρα $\|\gamma_r-\gamma_1\|_\infty<d,$ καὶ $w\not\in\gamma_r$ , ὅταν τὸ

εἶναι ἐπαρκῶς κοντὰ στὸ 1. Ἡ ὁμοιόμορφη σύγκλιση παρέχει ἐπίσης ὅτι

$\displaystyle{ \mathrm{Ind}_{\gamma_1}(w) = \lim_{r\to 1}\mathrm{Ind}_{\gamma_r}(w) = \lim_{r\to 1}\frac{1}{2\pi i} \int\displaylimits_{\gamma_r} \frac{d\zeta}{\zeta-w} =\lim_{r\to 1}\frac{1}{2\pi i} \int\displaylimits_{|\zeta|=r}\frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)-w}\,d\zeta. }$

Ἀφοῦ ὅμως ὁ δείκτης στροφῆς ἀποτελεῖ συνεχῆ συνάρτηση, ἡ ὁποία λαμβάνει ἀκέραιες τιμές, τότε θὰ ἔχομε ὅτι $\,\mathrm{Ind}_{\gamma_r}(w) = \mathrm{Ind}_{\gamma_1}(w),\,$ ὅταν τὸ

εἶναι ἐπαρκῶς κοντὰ στὸ 1. Σύμφωνα μὲ τὸ Θεώρημα Καταμετρήσεως τῶν ριζῶν (Argument Principle), ἡ ποσότητα

$\displaystyle{ \frac{1}{2\pi i} \int\displaylimits_{|\zeta|=r}\frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)-w}\,d\zeta, }$

ἀποτελεῖ τὸ πλῆθος τῶν ριζῶν τῆς ἐξισώσεως f(z)-w=0

στὸν δίσκο $D_r=\{z\in\C: |z|<r\},$ καὶ συνεπῶς ἀποτελεῖ μὴ ἀρνητικὸ ἀκέραιο. Ἄρα ἡ περίπτωση $\mathrm{Ind}_{\gamma_r}(w)=-1$ ἀπορρίπτεται καὶ συνεπῶς ἕχομε ὅτι $\mathrm{Ind}_{\gamma_1}(w)=\mathrm{Ind}_{\gamma_r}(w)=1,$ καὶ ἐν τέλει

$\displaystyle{ \mathrm{Ind}_{\gamma_1}(w)=1, }$

διὰ κάθε $\,w\in W_1$ . Αὐτὸ συνεπάγεται ὅτι

$\displaystyle{ W_1\subset f(D), \qquad\qquad\qquad\qquad (1) }$

καὶ ἐπίσης ὅτι κάθε $w\in W_1$ ἀποτελεῖ τὴν εἰκόνα ἀκριβῶς ἑνὸς $\,z\in D$ .

Παρομοίως λαμβάνομε ὅτι $\mathrm{Ind}_{\gamma_1}(w)=0,$ διὰ κάθε $w\in W_2$ , τὸ ὁποῖο συνεπάγεται ὅτι $w\not\in f(D),$
καὶ ἄρα $f(D)\subset \mathbb C\setminus W_2=\overline{W}_1$ . Καθὼς ὅμως ἡ

δὲν εἶναι σταθερή, σύμφωνα μὲ τὸ Θεώρημα τῆς Ἀνοικτῆς Ἀπεικονίσεως, τὸ σύνολο f(D)

εἶναι ἀνοικτὸ καὶ ἄρα

$\displaystyle{ f(D)\subset \big(\overline{W}_1\!\big)^{\!\Large\circ} = \big(\mathbb C\setminus W_2\!\big)^{\!\Large\circ} =\mathbb C\setminus \overline{W_2}=W_1. \qquad\qquad (2) }$

Ἀπὸ τὶς (1)-(2) προκύπτει ὅτι f(D)=W_1

, καὶ αὐτὸ ὁλοκληρώνει τὴν ἀπόδειξη τοῦ Ἰσχυρισμοῦ.

Ἐπὶ πλέον λαμβάνομε ὅτι ἡ $f\to D\to W_1$ ἀποτελεῖ ἀμφιολόμορφη (biholomorphic) ἀπεικόνιση, καὶ ἐπίσης ἡ $f:\overline{D}\to\overline{W}_1,$ ἀποτελεῖ ὁμοιομορφισμό. $\Box$

1-1 στὸ σύνορο έπεται 1-1 στο ἐσωτερικό

1-1 στὸ σύνορο έπεται 1-1 στο ἐσωτερικό

Re: 1-1 στὸ σύνορο έπεται 1-1 στο ἐσωτερικό

Μέλη σε σύνδεση