Σημείο και τόπος

[KARKAR]

Σημείο και τόπος.png (22.81 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Στην διάμετρο ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο , με : και γράφουμε

- στο ίδιο ημιεπίπεδο - τα ημικύκλια , διαμέτρων και . Σημείο κινείται στο αρχικό ημικύκλιο και

οι χορδές του , τέμνουν τα εσωτερικά ημικύκλια στα σημεία αντίστοιχα .

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου , του τμήματος .

β) Δείξτε ότι η προεκτάσεις των τέμνονται σε σταθερό σημείο , υπολογίζοντας και το τμήμα .

[konargyr14]

Μια προσπάθεια με ομοιοθεσία...
α) Είναι:

, ,

άρα το είναι ορθωγώνιο και άρα το είναι και το μέσον της . Η ομοιοθεσία κέντρου με λόγο στέλνει το σημείο στο , το σημείο στο μέσον του , έστω και το σημείο στο μέσον του , έστω . Έτσι, το ημικύκλιο διαμέτρου πηγαίνει στο ημικύκλιο διαμέτρου και επειδή το ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου , το θα ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου , το οποίο είναι σταθερό. Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος του σημείου είναι το ημικύκλιο με διάμετρο το τμήμα που ορίζουν τα μέσα των τμημάτων

β) Επειδή και άρα τα τμήματα είναι ομοιόθετα με κέντρο το σημείο και λόγο ομοιοθεσίας (αφού τα τρίγωνα είναι όμοια). Όμως από τα όμοια τρίγωνα έπεται:



Άρα το σημείο τομής της είναι σταθερό και τέτοιο ώστε

Για τον υπολογισμό του τώρα, είναι:



Κωνσταντίνος

3.PNG (35.36 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές

[Doloros]

Σημείο και τόπος.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο , με : και γράφουμε

- στο ίδιο ημιεπίπεδο - τα ημικύκλια , διαμέτρων και . Σημείο κινείται στο αρχικό ημικύκλιο και

οι χορδές του , τέμνουν τα εσωτερικά ημικύκλια στα σημεία αντίστοιχα .

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου , του τμήματος .

β) Δείξτε ότι η προεκτάσεις των τέμνονται σε σταθερό σημείο , υπολογίζοντας και το τμήμα .

Ας είναι μέσο του , μέσο του με . Ακόμα έστω το μέσο του .

Επειδή το έχει , το διαγράφει τα εσωτερικά σημεία του ημικυκλίου διαμέτρου .

Σημείο και τόπος.png (45.12 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές

Στο τραπέζιο είναι . Επειδή , έχω :

[Doloros]

Μια προσπάθεια με ομοιοθεσία...
α) Είναι:

, ,

άρα το είναι ορθωγώνιο και άρα το είναι και το μέσον της . Η ομοιοθεσία κέντρου με λόγο στέλνει το σημείο στο , το σημείο στο μέσον του , έστω και το σημείο στο μέσον του , έστω . Έτσι, το ημικύκλιο διαμέτρου πηγαίνει στο ημικύκλιο διαμέτρου και επειδή το ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου , το θα ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου , το οποίο είναι σταθερό. Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος του σημείου είναι το ημικύκλιο με διάμετρο το τμήμα που ορίζουν τα μέσα των τμημάτων

β) Επειδή και άρα τα τμήματα είναι ομοιόθετα με κέντρο το σημείο και λόγο ομοιοθεσίας (αφού τα τρίγωνα είναι όμοια). Όμως από τα όμοια τρίγωνα έπεται:



Άρα το σημείο τομής της είναι σταθερό και τέτοιο ώστε

Για τον υπολογισμό του τώρα, είναι:



Κωνσταντίνος
3.PNG