Συνευθειακότητα και αναλογία

[KARKAR]

Συνευθειακότητα και αναλογία.png (23.52 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές

Από σημείο , εξωτερικό του κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα : . Από σημείο της προέκτασης

της χορδής , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Οι τέμνουν τις , στα σημεία αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά . β) Αν : , υπολογίστε το , ώστε : .

[konargyr14]

Καλησπέρα. Μια λύση για το (α).
Το σημείο ανήκει στην πολική του προς τον κύκλο , άρα από το θεώρημα La Hire η πολική του προς τον ίδιο κύκλο θα περνά από το . Συνεπώς η είναι η πολική του προς τον κύκλο , αφού το είναι εφαπτόμενο τμήμα στον Αν η τομή της , με την χορδή , τότε η τετράδα των σημείων είναι αρμονική (αφού η είναι η πολική του ). Στο πλήρες τετράπλευρο τώρα, οι διαγώνιοι τέμνονται στο και άρα η τρίτη διαγώνιος θα τέμνει την στο συζηγές αρμονικό του , δηλαδή το . Συνεπώς οι ευθείες συντρέχουν στο και άρα τα σημεία είναι συνευθειακά.

Κωνσταντίνος

[Doloros]

Συνευθειακότητα και αναλογία.pngΑπό σημείο , εξωτερικό του κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα : . Από σημείο της προέκτασης

της χορδής , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Οι τέμνουν τις , στα σημεία αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά . β) Αν : , υπολογίστε το , ώστε : .

Συνευθειακότητα και αναλογία_b ερώτημα_ok.png (54.75 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

Αργότερα , λύση και για τα δυο ερωτήματα .

[Doloros]

Συνευθειακότητα και αναλογία.pngΑπό σημείο , εξωτερικό του κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα : . Από σημείο της προέκτασης

της χορδής , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Οι τέμνουν τις , στα σημεία αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά . β) Αν : , υπολογίστε το , ώστε : .

Η πολική του ως προς τον κύκλο είναι η χορδή των επαφών , που διέρχεται από το . Οπότε η πολική του

θα διέρχεται από το αφού η είναι εφαπτομένη του .

Η ευθεία θα τέμνει τον εν λόγω κύκλο κατά σειρά στα με το τετράπλευρο να είναι αρμονικό .

Συνευθειακότητα και αναλογία_a ερώτημα_ok.png (42.14 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

Τώρα υποθέτω ότι η δεν διέρχεται από το αλλά από άλλο σημείο , ας πούμε , της ευθείας .

Ας πάρουμε την πολική του ως προς τις ευθείες , θα περνά από τα σημεία και ,

θα τέμνει δε την στο με την τετράδα , αρμονική οπότε αναγκαστικά

θα διέρχεται από το δηλαδή το .

β) στην περίπτωση των αριθμητικών δεδομένων που δόθηκαν. Υπόδειξη.

Έχουμε το νέο σχήμα με ισόπλευρο πλευράς . Επίσης

Μενέλαος στο με διατέμνουσα κι έχω : (1)

Μενέλαος στο με διατέμνουσα κι έχω : (2)

Συνευθειακότητα και αναλογία_b ερώτημα_ok.png (51.89 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

Επειδή , σύμφωνα με τα σημεία ( Α. Δημητρίου Θέμα 16)

. Αν από Θ. συνημίτονου στο

οπότε .


Παρατήρηση .

Πιο αναλυτικά αφού προσδιορίστηκαν τα: και από την ομοιότητα των έχω:

και από τις προκύπτει , . Από το Θ. συνημίτονου στο έχω

Από τις διώχνω είτε το και βρίσκω το ,είτε το , Με διώξιμο του προκύπτει :

και έτσι : .

[konargyr14]

Καλησπέρα. Μια λύση για το (α).
Το σημείο ανήκει στην πολική του προς τον κύκλο , άρα από το θεώρημα La Hire η πολική του προς τον ίδιο κύκλο θα περνά από το . Συνεπώς η είναι η πολική του προς τον κύκλο , αφού το είναι εφαπτόμενο τμήμα στον Αν η τομή της , με την χορδή , τότε η τετράδα των σημείων είναι αρμονική (αφού η είναι η πολική του ). Στο πλήρες τετράπλευρο τώρα, οι διαγώνιοι τέμνονται στο και άρα η τρίτη διαγώνιος θα τέμνει την στο συζηγές αρμονικό του , δηλαδή το . Συνεπώς οι ευθείες συντρέχουν στο και άρα τα σημεία είναι συνευθειακά.

Κωνσταντίνος

Προσθέτω τη λύση για το δεύτερο ερώτημα (και το σχήμα):

και άρα

οπότε το είναι ισόπλευρο (αφού ) και



Θέτουμε για ευκολία . Από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την παίρνουμε:



Από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την παίρνουμε:



Από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την παίρνουμε:



Η παράλληλη από το προς το τέμνει το στο . Τότε άρα και (αφού λόγω γωνίας χορδής και εφαπτομένης)

Συνεπώς τα είναι εγγράψιμμα και άρα το είναι εγγράψιμμο, οπότε , οπότε και .

Άρα το είναι παραλληλόγραμμο και έτσι έχουμε:

και . Αντικαθιστώντας στην πρώτη από αυτές , παίρνουμε:



Οπότε τελικά

Κωνσταντίνος

1.png (127.27 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές

[Doloros]

Καλησπέρα. Μια λύση για το (α).
Το σημείο ανήκει στην πολική του προς τον κύκλο , άρα από το θεώρημα La Hire η πολική του προς τον ίδιο κύκλο θα περνά από το . Συνεπώς η είναι η πολική του προς τον κύκλο , αφού το είναι εφαπτόμενο τμήμα στον Αν η τομή της , με την χορδή , τότε η τετράδα των σημείων είναι αρμονική (αφού η είναι η πολική του ). Στο πλήρες τετράπλευρο τώρα, οι διαγώνιοι τέμνονται στο και άρα η τρίτη διαγώνιος θα τέμνει την στο συζηγές αρμονικό του , δηλαδή το . Συνεπώς οι ευθείες συντρέχουν στο και άρα τα σημεία είναι συνευθειακά.

Κωνσταντίνος

Προσθέτω τη λύση για το δεύτερο ερώτημα (και το σχήμα):

και άρα

οπότε το είναι ισόπλευρο (αφού ) και



Θέτουμε για ευκολία . Από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την παίρνουμε:



Από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την παίρνουμε:



Από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την παίρνουμε:



Η παράλληλη από το προς το τέμνει το στο . Τότε άρα και (αφού λόγω γωνίας χορδής και εφαπτομένης)

Συνεπώς τα είναι εγγράψιμμα και άρα το είναι εγγράψιμμο, οπότε , οπότε και .

Άρα το είναι παραλληλόγραμμο και έτσι έχουμε:

και . Αντικαθιστώντας στην πρώτη από αυτές , παίρνουμε:



Οπότε τελικά

Κωνσταντίνος
1.png