Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙV

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται μη σταθερή παραγωγίσιμη συνάρτηση $f \colon [\alpha,\beta] \to \mathbb{R}$
με συνεχή πρώτη παράγωγο και $f(\alpha) = f(\beta)$

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $\gamma,\delta\in[\alpha,\beta]$ τέτοια ώστε $f(\gamma)=f(\delta)$ και $f^\prime(\gamma)\cdot f^\prime(\delta)<0$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Η εκφώνηση είναι πλήρης, το σχήμα είναι ενδεικτικό.

abgd · #2

Διαγράφω τη λύση που έδωσα.... Υπάρχει κάποιο λάθος στον συλλογισμό μου.

#3

ME ENTONH ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ
συγνωμη προβλημα στον υπολογιστή
f' συνεχής τότε $\displaystyle{f'(x) \le M=f'(m)=0}$ αρα $\displaystyle{f}$ γν.φθίνουσα στο $\displaystyle{[a,b]}$
Το γν.επειδή $\displaystyle{f}$ δεν είναι σταθερή
Αν απο το σημείο $\displaystyle{(c,f(c))}$ με $\displaystyle{a<c<m}$ φέρουμε //στο τμήμα $\displaystyle{[a,b]}$ αυτή θα τμήση την $\displaystyle{C_f}$ σε κάποιο σημείο $\displaystyle{(d,f(d))}$ με $\displaystyle{m<d<b}$ αφού σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ όταν} $\displaystyle{m<d<b}$ είναι ιδιο όταν $\displaystyle{a<c<m$ kαι είναι το $\displaystyle{[m,0]$ \displaystyle{
έτσι λόγω του ορθογωνίου που σχηματίζεται } f(c)=f(d)

\displaystyle{
οι κλισεις } f'(c)<0,f'(d)<0

\displaystyle{ αφου }

\displaystyle{ γν.φθίνουσα με } c<0<d

\displaystyle{ για οποιαδήποτε
} c<0<d}

που ορίστηκαν όπως πριν

add2math · #4

Έστω η γνησίως αύξουσα ακολουθία $(\xi_\nu)$ των κρίσιμων σημείων της

. Έχω $f'(\xi_\nu)=0,\xi_\nu\in[\alpha,\beta],\nu\in N^*,\xi_0=\alpha$ .
Η

είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ . Από το θεώρημα μέγιστης τιμής, υπάρχει $x_0\in[\alpha,\beta]$ τέτοιο, ώστε $f(x_0)=M=maxf([\alpha,\beta])$ . Οπότε f'(x_0)=0

και έστω $x_0=\xi_\kappa$ για κάποιο $\kappa\in N^*$ .
Θέτω $left=\xi_{\kappa-1}<x_0=\xi_\kappa<\xi_{\kappa+1}=right$ . Αν δεν υπάρχει το $\xi_{\kappa-1}$ θέτω $left=\alpha$ .
Στο διάστημα $(left,\xi_\kappa)$ η συνεχής συνάρτηση

διατηρεί το πρόσημό της, άρα η

είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα αυτό και αφού $f(\xi_\kappa)>f(left), \ \xi_\kappa>left$ , η

είναι γνησίως αύξουσα άρα f'(x)>0

για κάθε $x\in(left,\xi_\kappa)$ .

: κατιευλογο4.png (46.83 KiB) Προβλήθηκε 1928 φορές

Με όμοιο τρόπο δείχνω ότι f'(x)<0

για κάθε $x\in(\xi_\kappa,right)$ . (Αν δεν υπάρχει το $\xi_{\kappa+1}$ θέτω $right=\beta$ .)

Προφανώς υπάρχει $\eta$ τέτοιο ώστε $max\{f(left),f(right)\}<\eta<f(\xi_\kappa)$ . Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχουν $\gamma\in(left, \xi_\kappa), \delta\in(\xi_\kappa,right)$ τέτοια ώστε $f(\gamma)=f(\delta)=\eta$ . Από τα προηγούμενα έχω επιπλέον ότι $f'(\gamma)>0,f'(\delta)<0$ άρα $f'(\gamma)\cdot f'(\delta)<0$ , όπως θέλαμε.

Αν $M=f(\alpha)$ τότε παίρνω το x_0

με $f(x_0)=m=minf[\alpha,\beta]$ και δουλεύω όπως πριν. (Εδώ οι μονοτονίες αλλάζουν όπως και τα πρόσημα των παραγώγων).

Άλλη περίπτωση είναι το ολικό μέγιστο

να προκύπτει σε υποδιάστημα που η συνάρτηση είναι σταθερή. Δηλαδή $\xi_\kappa\in (c,d)\subset[\alpha,\beta] , f(x)=f(\xi_\kappa)=M \ \forall x\in (c,d)$ .

: κατιευλογο4b.png (35.63 KiB) Προβλήθηκε 1928 φορές

Θεωρούμε τα σύνολα $L=\{\xi_\nu:\xi_\nu<x_0,f(\xi_\nu)<f(x_0)\}$ και $R=\{\xi_\nu:\xi_\nu>x_0,f(\xi_\nu)<f(x_0)\}$ . Αν $L=\emptyset$ , τότε θέτω $left=\alpha$ , αλλιώς θέτω left=max(L)

. Όμοια αν $R=\emptyset$ , τότε θέτω $right=\beta$ , αλλιώς θέτω right=min(R)

. Προφανώς υπάρχει $\eta$ τέτοιο ώστε $max\{f(left),f(right)\}<\eta<f(x_0)$ και συνεχίζω κατά τα γνωστά.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #5

add2math έγραψε: Πέμ Μάιος 08, 2025 9:13 pm Έστω η γνησίως αύξουσα ακολουθία $(\xi_\nu)$ των κρίσιμων σημείων της . Έχω $f'(\xi_\nu)=0,\xi_\nu\in[\alpha,\beta],\nu\in N^*,\xi_0=\alpha$ .
Η είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ . Από το θεώρημα μέγιστης τιμής, υπάρχει $x_0\in[\alpha,\beta]$ τέτοιο, ώστε $f(x_0)=M=maxf([\alpha,\beta])$ . Οπότε και έστω $x_0=\xi_\kappa$ για κάποιο $\kappa\in N^*$ .
Θέτω $left=\xi_{\kappa-1}<x_0=\xi_\kappa<\xi_{\kappa+1}=right$ . Αν δεν υπάρχει το $\xi_{\kappa-1}$ θέτω $left=\alpha$ .
Στο διάστημα $(left,\xi_\kappa)$ η συνεχής συνάρτηση διατηρεί το πρόσημό της, άρα η είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα αυτό και αφού $f(\xi_\kappa)>f(left), \ \xi_\kappa>left$ , η είναι γνησίως αύξουσα άρα για κάθε $x\in(left,\xi_\kappa)$ .
κατιευλογο4.png
Με όμοιο τρόπο δείχνω ότι για κάθε $x\in(\xi_\kappa,right)$ . (Αν δεν υπάρχει το $\xi_{\kappa+1}$ θέτω $right=\beta$ .)

Προφανώς υπάρχει $\eta$ τέτοιο ώστε $max\{f(left),f(right)\}<\eta<f(\xi_\kappa)$ . Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχουν $\gamma\in(left, \xi_\kappa), \delta\in(\xi_\kappa,right)$ τέτοια ώστε $f(\gamma)=f(\delta)=\eta$ . Από τα προηγούμενα έχω επιπλέον ότι $f'(\gamma)>0,f'(\delta)<0$ άρα $f'(\gamma)\cdot f'(\delta)<0$ , όπως θέλαμε.

Αν $M=f(\alpha)$ τότε παίρνω το με $f(x_0)=m=minf[\alpha,\beta]$ και δουλεύω όπως πριν. (Εδώ οι μονοτονίες αλλάζουν όπως και τα πρόσημα των παραγώγων).

Άλλη περίπτωση είναι το ολικό μέγιστο να προκύπτει σε υποδιάστημα που η συνάρτηση είναι σταθερή. Δηλαδή $\xi_\kappa\in (c,d)\subset[\alpha,\beta] , f(x)=f(\xi_\kappa)=M \ \forall x\in (c,d)$ . κατιευλογο4b.png
Θεωρούμε τα σύνολα $L=\{\xi_\nu:\xi_\nu<x_0,f(\xi_\nu)<f(x_0)\}$ και $R=\{\xi_\nu:\xi_\nu>x_0,f(\xi_\nu)<f(x_0)\}$ . Αν $L=\emptyset$ , τότε θέτω $left=\alpha$ , αλλιώς θέτω . Όμοια αν $R=\emptyset$ , τότε θέτω $right=\beta$ , αλλιώς θέτω . Προφανώς υπάρχει $\eta$ τέτοιο ώστε $max\{f(left),f(right)\}<\eta<f(x_0)$ και συνεχίζω κατά τα γνωστά.

Όμως η

μπορεί να είναι τέτοια ώστε
οσοδήποτε κοντά στο x_0

(η θεωρηθείσα θέση ολικού ακροτάτου της

στο εσωτερικό του $[\alpha,\beta]$ με $f(x_o)\ne f(\alpha)=f(\beta)$ )
η $f^\prime$ και από τα δεξιά και από τα αριστερά του x_o

να λαμβάνει και θετικές και αρνητικές τιμές οπότε σε κανένα διάστημα με άκρο το x_o

η

να μην είναι μονότονη. Σε αυτή την περίπτωση το παραπάνω επιχείρημα δεν επαρκεί.

natalee1 · #6

add2math έγραψε: Πέμ Μάιος 08, 2025 9:13 pm Έστω η γνησίως αύξουσα ακολουθία $(\xi_\nu)$ των κρίσιμων σημείων της . Έχω $f'(\xi_\nu)=0,\xi_\nu\in[\alpha,\beta],\nu\in N^*,\xi_0=\alpha$ .
Η είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ . Από το θεώρημα μέγιστης τιμής, υπάρχει $x_0\in[\alpha,\beta]$ τέτοιο, ώστε $f(x_0)=M=maxf([\alpha,\beta])$ . Οπότε και έστω $x_0=\xi_\kappa$ για κάποιο $\kappa\in N^*$ .
Θέτω $left=\xi_{\kappa-1}<x_0=\xi_\kappa<\xi_{\kappa+1}=right$ . Αν δεν υπάρχει το $\xi_{\kappa-1}$ θέτω $left=\alpha$ .
Στο διάστημα $(left,\xi_\kappa)$ η συνεχής συνάρτηση διατηρεί το πρόσημό της, άρα η είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα αυτό και αφού $f(\xi_\kappa)>f(left), \ \xi_\kappa>left$ Verde Casino, η είναι γνησίως αύξουσα άρα για κάθε $x\in(left,\xi_\kappa)$ .
κατιευλογο4.png
Με όμοιο τρόπο δείχνω ότι για κάθε $x\in(\xi_\kappa,right)$ . (Αν δεν υπάρχει το $\xi_{\kappa+1}$ θέτω $right=\beta$ .)

Προφανώς υπάρχει $\eta$ τέτοιο ώστε $max\{f(left),f(right)\}<\eta<f(\xi_\kappa)$ . Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχουν $\gamma\in(left, \xi_\kappa), \delta\in(\xi_\kappa,right)$ τέτοια ώστε $f(\gamma)=f(\delta)=\eta$ . Από τα προηγούμενα έχω επιπλέον ότι $f'(\gamma)>0,f'(\delta)<0$ άρα $f'(\gamma)\cdot f'(\delta)<0$ , όπως θέλαμε.

Αν $M=f(\alpha)$ τότε παίρνω το με $f(x_0)=m=minf[\alpha,\beta]$ και δουλεύω όπως πριν. (Εδώ οι μονοτονίες αλλάζουν όπως και τα πρόσημα των παραγώγων).

Άλλη περίπτωση είναι το ολικό μέγιστο να προκύπτει σε υποδιάστημα που η συνάρτηση είναι σταθερή. Δηλαδή $\xi_\kappa\in (c,d)\subset[\alpha,\beta] , f(x)=f(\xi_\kappa)=M \ \forall x\in (c,d)$ . κατιευλογο4b.png
Θεωρούμε τα σύνολα $L=\{\xi_\nu:\xi_\nu<x_0,f(\xi_\nu)<f(x_0)\}$ και $R=\{\xi_\nu:\xi_\nu>x_0,f(\xi_\nu)<f(x_0)\}$ . Αν $L=\emptyset$ , τότε θέτω $left=\alpha$ , αλλιώς θέτω . Όμοια αν $R=\emptyset$ , τότε θέτω $right=\beta$ , αλλιώς θέτω . Προφανώς υπάρχει $\eta$ τέτοιο ώστε $max\{f(left),f(right)\}<\eta<f(x_0)$ και συνεχίζω κατά τα γνωστά.

ενδιαφέρουσα λύση, ευχαριστώ πολύ για τις πληροφορίες, θα προσπαθήσω όπως έγραψες

add2math · #7

Το επιχείρημά μου βασίζεται στην παρακάτω πρόταση (που είναι άμεση).
Για μη σταθερή παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο, το πρόσημο της πρώτης παραγώγου δεν αλλάζει ανάμεσα σε δυο διαδοχικά εσωτερικά κρίσιμα σημεία.

Μια συνάρτηση που ίσως υπονοεί ο Ιάσωνας είναι η $f(x)=\eta\mu(1/x)$ που όμως δεν είναι συνεχής στο

.
Ακόμα κι αν πάρουμε έναν κατάλληλο περιορισμό της

, όπως βλέπουμε παρακάτω, μπορούμε πάντα για κάθε ολικό μέγιστο (με τετμημένη $\xi_k$ ) να έχουμε στα αριστερά του ένα άλλο κρίσιμο σημείο (το προηγούμενο με τετμημένη $\xi_{k-1}$ ), όσο στριμωγμένα και να είναι αυτά τα σημεία. Στο διάστημα $(\xi_{k-1},\xi_k)$ η συνεχής

διατηρεί το πρόσημό της και επομένως η

δεν αλλάζει μονοτονία.

: evlogo4b.png (88.35 KiB) Προβλήθηκε 1767 φορές

.
Αν υπάρχει κάτι άλλο που δεν βλέπω, με χαρά να το ξαναδούμε.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #8

add2math έγραψε: Τρί Μάιος 13, 2025 8:41 pm Το επιχείρημά μου βασίζεται στην παρακάτω πρόταση (που είναι άμεση).
Για μη σταθερή παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο, το πρόσημο της πρώτης παραγώγου δεν αλλάζει ανάμεσα σε δυο διαδοχικά εσωτερικά κρίσιμα σημεία.

Μια συνάρτηση που ίσως υπονοεί ο Ιάσωνας είναι η $f(x)=\eta\mu(1/x)$ που όμως δεν είναι συνεχής στο .
Ακόμα κι αν πάρουμε έναν κατάλληλο περιορισμό της , όπως βλέπουμε παρακάτω, μπορούμε πάντα για κάθε ολικό μέγιστο (με τετμημένη $\xi_k$ ) να έχουμε στα αριστερά του ένα άλλο κρίσιμο σημείο (το προηγούμενο με τετμημένη $\xi_{k-1}$ ), όσο στριμωγμένα και να είναι αυτά τα σημεία. Στο διάστημα $(\xi_{k-1},\xi_k)$ η συνεχής διατηρεί το πρόσημό της και επομένως η δεν αλλάζει μονοτονία.
evlogo4b.png.
Αν υπάρχει κάτι άλλο που δεν βλέπω, με χαρά να το ξαναδούμε.

Η ένστασή μου παραμένει αν και ομολογώ πως θα μπορούσε να είχε διατυπωθεί αναλυτικότερα:

η προτεινόμενη λύση στο
viewtopic.php?f=61&t=77472#p374101
βασίζεται στη (σιωπηρή) υπόθεση πως:

$\bullet$ είτε θα υπάρχει ένα κρίσιμο σημείο $\xi_k$ ώστε η $f^\prime$ να είναι για κάποιο $\delta>0$ θετική σε ένα εκ των διαστημάτων $(\xi_k-\delta,\xi_k)$ , $(\xi_k,\xi_k+\delta)$ και αρνητική στο άλλο

$\bullet$ είτε θα υπάρχει διάστημα [c,d]

στο οποίο η

θα είναι σταθερή, η $f^\prime$ θα διατηρεί πρόσημο σε κάποιο διάστημα $(\text{left},c)$ ενώ σε κάποιο διάστημα $(d,\text{right})$ πάλι θα διατηρεί πρόσημο αλλά θα είναι αντίθετο από το πρόσημο στο $(\text{left},c)$ .

Όταν η εντάσσεται σε αυτές τις περιπτώσεις όντως καταλήγουμε στο ζητούμενο, αφού έχουμε τη δυνατότητα να αγνοήσουμε ενδεχόμενα παθολογικά κρίσιμα σημεία μετατοπίζοντας την προσοχή μας προς κάποιο που να εξυπηρετεί όπως εξηγείτε στη δευτερολογία σας κατά την πραγμάτευση της $\sin\dfrac{1}{x}$
(η οποία, αν και είναι μη παράδειγμα,
αποδίδει επαρκώς το πνεύμα της μη μονοτονίας σε όλα τα διαστήματα με άκρο ένα κρίσιμο σημείο που ανέφερα στην ένστασή μου
viewtopic.php?f=61&t=77472#p374175
).

Όμως αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Υπάρχουν περιπτώσεις συναρτήσεων που ικανοποιούν τις συνθήκες της εκφώνησης των οποίων ΟΛΑ τα κρίσιμα σημεία είναι παθολογικά.

Χρησιμοποιώντας σύνολα Cantor (το τυπικό τριαδικό (Cantor ternary set) μας κάνει) μπορούμε να κατασκευάσουμε μια συνάρτηση παραγωγίσιμη
σε διάστημα με συνεχή πρώτη παράγωγο η οποία να έχει τις εξής ιδιότητες:
$\bullet$ το πλήθος των κρισίμων σημείων της να είναι υπεραριθμήσιμο (οπότε τα κρίσιμα σημεία είναι αδύνατον να αναπαρασταθούν ως όροι ακολουθίας $\xi_k$ )
$\bullet$ Να μην είναι σταθερή σε κανένα διάστημα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της
$\bullet$ Για κάθε κρίσιμο σημείο x_o

αυτής να ισχύει τουλάχιστον ένα από τα δυο ακόλουθα:
#1. Για κάθε $\delta>0$ η $f^\prime$ λαμβάνει και θετικές και αρνητικές τιμές στο $(x_o,x_o+\delta)$
#2. Για κάθε $\delta>0$ η $f^\prime$ λαμβάνει και θετικές και αρνητικές τιμές στο $(x_o-\delta,x_o)$
$\bullet$ Για όλα τα κρίσιμα σημεία, με την εξαίρεση αριθμησίμου πλήθους, να ισχύουν και τα δύο προαναφερθέντα (δεν είναι σημαντικό αυτό, αλλά αναδεικνύει πόσο εξωτική μπορεί να είναι η εν λόγω συνάρτηση).

Με άλλα λόγια σε κάθε κρίσιμο σημείο x_o

αυτής της συνάρτησης, η παράγωγός της, είτε από δεξιά, είτε από αριστερά, είτε και από τις δυο κατευθύνσεις θα συμπεριφέρεται ως προς το πρόσημο με τρόπο που θα θυμίζει τη συνάρτηση
$h(x)=\begin{cases}x \sin \dfrac{1}{x} & , x \ne 0 \\ 0 & , x=0 \end{cases} \quad$ κοντά στο x=0

Για να συμπεριλάβει λοιπόν με βεβαιότητα όλες τις περιπτώσεις συναρτήσεων, μεταξύ των οποίων και τις παθολογικότερες, το επιχείρημα σας χρειάζεται επέκταση.

Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙV

Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙV

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙV

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙV

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙV

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙV

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙV

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙV

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙV

Μέλη σε σύνδεση