Παιγνίδι με χορδές

KARKAR · #1

: Παιγνίδι με χορδές.png (14.55 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές

Το σημείο

, χωρίζει την διάμετρο ενός κύκλου , σε τμήματα : AT=7

και :

. Σχεδιάζω χορδή

και εν συνεχεία χορδή

( διερχόμενη από το

) , έτσι ώστε : $AN=\dfrac{10}{13}NS$ . Υπολογίστε την χορδή

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 16, 2025 9:55 am
Παιγνίδι με χορδές.pngΤο σημείο , χωρίζει την διάμετρο ενός κύκλου , σε τμήματα : και : . Σχεδιάζω χορδή

και εν συνεχεία χορδή ( διερχόμενη από το ) , έτσι ώστε : $AN=\dfrac{10}{13}NS$ . Υπολογίστε την χορδή .

: παιγνίδια με χορδέ.png (23.98 KiB) Προβλήθηκε 614 φορές

Από το σύστημα : $\left\{ \begin{gathered} 13{k^2}x = 30{k^2} + 70{x^2} \hfill \\ \frac{{225}}{4} = \frac{{100{x^2}\left( {100 - {k^2}} \right)}}{{10000 - 169{k^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

έχω : x = 4

δεκτή , είτε $x = \dfrac{{3\sqrt {12721} - 117}}{{56}} \simeq 3,952896998$ , εν αναμονή ελέγχου.

Η δεύτερη τιμή δεν επαληθεύει . άρα τελικά : $\boxed{x = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,k = \frac{{4\sqrt {385} }}{{11}}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 16, 2025 9:55 am
Παιγνίδι με χορδές.pngΤο σημείο , χωρίζει την διάμετρο ενός κύκλου , σε τμήματα : και : . Σχεδιάζω χορδή

και εν συνεχεία χορδή ( διερχόμενη από το ) , έτσι ώστε : $AN=\dfrac{10}{13}NS$ . Υπολογίστε την χορδή .

Θέτω $AN = k\,\,\,,\,\,0 < k < 10$ . Έστω δε

το αντιδιαμετρικό του

Προφανώς $NS = \dfrac{{13k}}{{10}}$ . Επειδή $\vartriangle ANT \approx \vartriangle SBT$ , έχω :

$\dfrac{{AN}}{{SB}} = \dfrac{{NT}}{{BT}} = \dfrac{{AT}}{{ST}} \Rightarrow \dfrac{k}{x} = \dfrac{{NT}}{3} = \dfrac{7}{{ST}}$ κι έτσι έχω: $\left\{ \begin{gathered} NT \cdot ST = 21 \hfill \\ NT = \dfrac{{3k}}{x} \hfill \\ ST = \dfrac{{7x}}{k} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Επειδή , $NT + ST = NS \Rightarrow \dfrac{{3k}}{x} + \dfrac{{7x}}{k} = \dfrac{{13k}}{{10}}$ ή ισοδύναμα : $\boxed{3k{x^2} = 30{k^2} + 70{x^2}}\,\,\,\left( 1 \right)$ . Από την άλλη μεριά ( Θ. Haruki

)

: παιγνίδια με χορδέ.png (23.98 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

$\dfrac{{OA \cdot TB}}{{OT}} = \dfrac{{AD \cdot NB}}{{ND}} \Rightarrow \dfrac{{15}}{2} = \dfrac{{x\sqrt {100 - {k^2}} }}{{\sqrt {100 - {{\left( {\dfrac{{13k}}{{10}}} \right)}^2}} }}$ που υψώνοντας στο τετράγωνο καταλήγω : $\boxed{\dfrac{{225}}{4} = \dfrac{{100{x^2}\left( {100 - {k^2}} \right)}}{{10000 - 169{k^2}}}}\,\,\,\left( 2 \right)$

Από το σύστημα : $\left\{ \begin{gathered} 13{k^2}x = 30{k^2} + 70{x^2} \hfill \\ \frac{{225}}{4} = \frac{{100{x^2}\left( {100 - {k^2}} \right)}}{{10000 - 169{k^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ προκύπτει: $\boxed{x = 4\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k = \dfrac{{4\sqrt {385} }}{{11}}}$

KARKAR · #4

: Παιγνίδι με χορδές απλούστερο.png (14.49 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

Μια απλούστερη εκδοχή της άσκησης : AT=8 , TB=2

και :

.

Ιστοσελίδα · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 16, 2025 9:55 am
Το σημείο , χωρίζει την διάμετρο ενός κύκλου , σε τμήματα : και : . Σχεδιάζω χορδή

και εν συνεχεία χορδή ( διερχόμενη από το ) , έτσι ώστε : $AN=\dfrac{10}{13}NS$ . Υπολογίστε την χορδή .

: shape.png (30.3 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 17, 2025 10:50 am
Μια απλούστερη εκδοχή της άσκησης : και : .

Με παρόμοιο τρόπο προκύπτει $x = \dfrac{{10}}{3}$ .

Παιγνίδι με χορδές

Παιγνίδι με χορδές

Re: Παιγνίδι με χορδές

Re: Παιγνίδι με χορδές

Re: Παιγνίδι με χορδές

Re: Παιγνίδι με χορδές

Μέλη σε σύνδεση