Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (11η τάξη,1η μέρα)

[Al.Koutsouridis]

LXXXVIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
16 Μαρτίου 2025 11η τάξη, 1η μέρα

Πρόβλημα 1. Στο κοινό συμπόσιο ψευτών (πάντα λένε ψέματα) και κυρίων (πάντα λένε την αλήθεια) μαζεύτηκαν συμμετέχοντες, μεταξύ των οποίων δεν είναι όλοι ψεύτες και δεν είναι όλοι κύριοι. Κάθε δυο συμμετέχοντες είτε γνωρίζονται, είτε δεν γνωρίζονται μεταξύ τους. Ο καθένας τους για τον καθένα εκ των υπόλοιπων απάντησε «ναι» ή «όχι» στην ερώτηση «Γνωρίζεστε;». ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των απαντήσεων «ναι» που μπορεί να προέκυψε;

Πρόβλημα 2. Δίνεται η ακολουθία για όλους τους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς . Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της ακολουθίας.

Πρόβλημα 3. Δίνονται δυο τριγωνικές πυραμίδες με κοινή βάση . Οι κορυφές τους και βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές του επιπέδου . Όλες οι παράπλευρες ακμές της μιας πυραμίδας είναι παράλληλες με τις αντίστοιχες έδρες της άλλης. Να αποδείξετε ο όγκος της μιας πυραμίδας είναι διπλάσιος από της άλλης.

Πρόβλημα 4. Υπάρχουν άραγε τέτοιοι μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και και τέτοιο πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, ώστε ο να μην διαιρείτε με τον , αλλά ο να διαιρείται με τον για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό και οποιονδήποτε μη μηδενικό φυσικό ;

Πρόβλημα 5. Τα ύψη ενός οξυγώνιου τριγώνου τέμνονται στο σημείο . Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει το τμήμα στο σημείο , η διχοτόμος της γωνίας τέμνει το τμήμα στο σημείο . Συμβολίζουμε το μέτρο της γωνίας με . Ανάλογα ορίζονται και τα και . Να βρείτε την τιμή του αθροίσματος .

μομ_2025_ταξη11_πρ5.png (45.86 KiB) Προβλήθηκε 2133 φορές

Πρόβλημα 6. Ο Άρης χρωματίζει κάθε κελί ενός πίνακα με λευκό ή μαύρο χρώμα έτσι, ώστε τα κελιά κάθε χρώματος να σχηματίζουν πολύγωνο. Ύστερα ο Γιώργος διαμερίζει τον πίνακα σε ντόμινο των δυο κελιών. Ο Άρης προσπαθεί, ώστε σαν αποτέλεσμα να προκύψουν όσο το δυνατό περισσότερα πολύχρωμα ντόμινο και ο Γιώργος προσπαθεί, ώστε να προκύψουν όσο το δυνατό λιγότερα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός πολύχρωμων ντόμινο που μπορεί να εγγυηθεί ο Άρης, ανεξάρτητα το τι θα πράξει ο Γιώργος; (Θυμίζουμε ότι η περίμετρος ενός πολυγώνου είναι κλειστή τεθλασμένη γραμμή που δεν τέμνει τον εαυτό της.)

[αρψ2400]

Πρόβλημα 6. Ο Άρης χρωματίζει κάθε κελί ενός πίνακα 22 \times22 με λευκό ή μαύρο χρώμα έτσι, ώστε τα κελιά κάθε χρώματος να σχηματίζουν πολύγωνο. Ύστερα ο Γιώργος διαμερίζει τον πίνακα σε ντόμινο των δυο κελιών. Ο Άρης προσπαθεί, ώστε σαν αποτέλεσμα να προκύψουν όσο το δυνατό περισσότερα πολύχρωμα ντόμινο και ο Γιώργος προσπαθεί, ώστε να προκύψουν όσο το δυνατό λιγότερα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός πολύχρωμων ντόμινο που μπορεί να εγγυηθεί ο Άρης, ανεξάρτητα το τι θα πράξει ο Γιώργος; (Θυμίζουμε ότι η περίμετρος ενός πολυγώνου είναι κλειστή τεθλασμένη γραμμή που δεν τέμνει τον εαυτό της.)

Πρόβλημα 6. Το σύνορο του τετραγώνου (84 κελιά )αποτελείται από δύο ενιαία κομμάτια , ένα άσπρο και ένα μαύρο γιατί διαφορετικά αν υπήρχε άσπρο ανάμεσα σε μαύρο ή ανάποδα τα δύο πολύγωνα δεν θα ήταν συνεκτικά.Εκεί ο Γιώργος μπορεί να διαλέξει 41 κελιά (μπορεί να περισσέψει ένα σε κάθε χρώμα).Τα υπόλοιπα 20 επί 20 μπορεί να τα χωρίσει σε 100 τετράγωνα 2 επί 2 και πάντα θα βρίσκει τουλάχιστον ένα μονόχρωμο ντόμινο σε κάθε τετράγωνο.(16 περιπτώσεις με τις 6 από αυτές να έχουμε 2 μονόχρωμα και στις άλλες 10 ένα μονόχρωμο).Αυτό είναι και το καλύτερο που μπορεί να πετύχει ο Άρης περιορίζοντας τον Γιώργο σε 141=41 +100 μονόχρωμα και εξασφαλίζοντας 22*22/2 -141 = 101 πολύχρωμα .Αυτό μπορεί να το πετύχει με το ακόλουθο σχήμα που μοιάζει με δίχρωμη ψάθα θαλάσσης. Κάθε φορά που ο Γιώργος επιλέγει ένα μονόχρωμο ντόμινο από τα κεντρικά 20 επί 20 καταδικάζει ένα κελί σε συμμετοχή σε πολύχρωμο ντόμινο .Άρα μόνο τα μισά από τα 200 κεντρικά ντόμινο μπορεί να επιλεγούν μονόχρωμα .(Στο σχήμα σε κάθε εσωτρικό τετράγωνο 2 επί 2 έχουμε ένα άσπρο 3 μαύρα ή ανάποδα που εξασφαλίζει 1 μόνο μονόχρωμο ντόμινο.)

[Mihalis_Lambrou]

Πρόβλημα 2. Δίνεται η ακολουθία για όλους τους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς . Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της ακολουθίας.

Έχουμε





Αθροίζουμε τώρα κατά μέλη από έως . Δεδομένου ότι οι παραστάσεις μέσα στις τετράγωνες παρενθέσεις [ και ] είναι τηλεσκοπικές, θα βρούμε ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με

[αρψ2400]

Πρόβλημα 1. Στο κοινό συμπόσιο ψευτών (πάντα λένε ψέματα) και κυρίων (πάντα λένε την αλήθεια) μαζεύτηκαν 100 συμμετέχοντες, μεταξύ των οποίων δεν είναι όλοι ψεύτες και δεν είναι όλοι κύριοι. Κάθε δυο συμμετέχοντες είτε γνωρίζονται, είτε δεν γνωρίζονται μεταξύ τους. Ο καθένας τους για τον καθένα εκ των υπόλοιπων απάντησε «ναι» ή «όχι» στην ερώτηση «Γνωρίζεστε;». ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των απαντήσεων «ναι» που μπορεί να προέκυψε;

Έστω οι βαθμοί των κορυφών των κυρίων Α , και οι βαθμοί των κορυφών των ψευτών Ψ .(βαθμός = αριθμός φίλων).Για τις απαντήσεις ναι έχουμε ότι είναι για τους κυρίους και για τους ψεύτες. Άρα αθροιστικά για τα ναι έχουμε:
+ .

Αν οι σχέσεις (ακμές) μεταξύ των κυρίων , οι σχέσεις (ακμές) μεταξύ των ψευτών και οι σχέσεις (ακμές) μεταξύ κυρίων-ψευτών η προηγούμενη σχέση γίνεται
+ =

Η τελευταία έχει ελάχιστο το για ή . (υπάρχει σίγουρα από την εκφώνηση ένας κύριος και ένας ψεύτης).

(Το παίρνει μέγιστη τιμή όταν όλοι οι ψεύτες γνωρίζονται, δηλαδή .)