Παραγωγή ισοπλεύρου

KARKAR · #1

: Παραγωγή ισοπλεύρου.png (16.5 KiB) Προβλήθηκε 3299 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο της βάσης

, τριγώνου ABC

. Εντοπίστε σημεία S , T ,

των πλευρών AB , AC

αντίστοιχα , τέτοια ώστε το τρίγωνο MST

να είναι ισόπλευρο .

duamba · #2

Καλησπέρα,

Μια κατασκευή άνευ τεκμηρίωσης (λόγω ελλιπούς χρόνου αλλά και κατανόησης).

: paragwgi-isoplevrou.png (25.28 KiB) Προβλήθηκε 3264 φορές

Κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά

και κορυφή

.
Επίσης κατασκευάζω ισόπλευρο με πλευρά

και κορυφή

.
Ενώνω τις κορυφές

και

.
Εκεί που η

τέμνει την πλευρά

είναι το ζητούμενο σημείο

.

(Ξεκινώντας απο το τρίγωνο $\triangle MFA$ , το τμήμα

είναι ο γεωμετρικός τόπος του

καθώς το

κινείται στην πλευρά

)

Υποπτεύομαι ότι ως ωραίο πρόβλημα θα έχει λύση και με Απολλώνιο κύκλο.

Nikitas K. · #3

Για τυχών σημείο

επί της πλευράς

ενός $\triangle ABC$ παρακάτω εντοπίζονται σημεία

και

επί των ευθειών

και

αντίστοιχα που είναι τέτοια, ώστε το $\triangle MST$ να είναι ισόπλευρο.

Έστω ότι το σημείο

είναι η αρχή των αξόνων και ότι οι κορυφές του $\triangle ABC$ έχουν συντεταγμένες A(m,n), B(b,0)

και

με $n\neq 0$ και $b\neq c$

Θέτοντας τις συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων S(s,y_S)

και

ενώ όταν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών

και

με

και

αντίστοιχα.

Ισχύει:

$\displaystyle s^2+y_S^2=t^2+y_T^2=\left(t-s\right)^2+\left(y_T-y_S\right)^2$ ως πλευρές ισόπλευρου.

$P = \dfrac{n}{m-b}$ μόνο αν $m\neq b$

$Q = \dfrac{n}{m-c}$ μόνο αν $m\neq c$

Αν $b\neq m\neq c$ τότε:

y_S = P(s-b)

διότι το σημείο

ανήκει στην ευθεία

διότι το σημείο

ανήκει στην ευθεία

$s^2 + \left[ P(s - b) \right]^2 = t^2 + \left[ Q(t - c) \right]^2 = (t - s)^2 + \left[ Q(t - c) - P(s - b) \right]^2$

Μετασχηματίζοντας τη λύση που δίνει το Wolfram Alpha προκύπτει $\displaystyle t = \frac{ \pm 2 b P + c \bigl(P \sqrt{3} \mp 1\bigr) Q }{ P \bigl(Q \sqrt{3} \pm 1\bigr) \mp Q + \sqrt{3} }$

*Διαλέγοντας είτε μόνο τα πάνω πρόσημα είτε μόνο τα κάτω πρόσημα.

Αν m=b

τότε $\displaystyle t = \lim_{P \to \infty}\frac{\pm 2 b P + c \bigl(P \sqrt{3} \mp 1\bigr) Q}{P \bigl(Q \sqrt{3} \pm 1\bigr) \mp Q + \sqrt{3}} = \frac{\pm 2b + c\sqrt{3} Q}{Q\sqrt{3}\pm 1}$

Κατασκευή:
Φέρεται κάθετη στην ευθεία $\color{black}BC$ από τη θέση $\color{lime}\left(t,0\right)$ που τέμνει την ευθεία $\color{pink}AC$ στο σημείο $\color{blue}T$ ενώ η μεσοκάθετη του $\color{gray}MT$ τέμνει την ευθεία $\color{orange}AB$ στο σημείο $\color{violet} S$

Σχήμα:

: Παραγωγή Ισόπλευρου.png (32.18 KiB) Προβλήθηκε 2991 φορές

#4

Δείτε την όμορφη κατασκευή του Σταύρου Παπαδόπουλου εδώ, με την παρατήρησή του ότι
το

δεν χρειάζεται να είναι μέσο της BC.

KARKAR · #5

: Παραγωγή ισοπλεύρου.png (23.04 KiB) Προβλήθηκε 3202 φορές

Αυτή είναι η προτεινόμενη κατασκευή . Όμορφη είναι και αυτή του duamba

.

#6

duamba έγραψε: Τρί Μάιος 20, 2025 7:36 pm Καλησπέρα,

Μια κατασκευή άνευ τεκμηρίωσης (λόγω ελλιπούς χρόνου αλλά και κατανόησης).
paragwgi-isoplevrou.png
Κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά και κορυφή .
Επίσης κατασκευάζω ισόπλευρο με πλευρά και κορυφή .
Ενώνω τις κορυφές και .
Εκεί που η τέμνει την πλευρά είναι το ζητούμενο σημείο .

(Ξεκινώντας απο το τρίγωνο $\triangle MFA$ , το τμήμα είναι ο γεωμετρικός τόπος του καθώς το κινείται στην πλευρά )

Υποπτεύομαι ότι ως ωραίο πρόβλημα θα έχει λύση και με Απολλώνιο κύκλο.

: Εγραφή ισοπλεύρου τριγώνου σε τρίγωνο.png (25.21 KiB) Προβλήθηκε 3190 φορές

Όλες είναι ωραίες. Αυτή όμως που μου έκανε μεγάλη εντύπωση είναι η πιο πάνω .

Ισχύει κι εδώ ότι το δεν είναι αναγκαστικά μέσο στο .

Περιμένω κάποια τεκμηρίωση από τον duamba , όταν έχει ευχέρεια .

αρψ2400 · #7

Αν το σημείο Μ είναι οπουδήποτε και οι γωνίες του τριγώνου MST είναι οσοδήποτε ;(Εννοώ δίνονται ο λόγος ΒΜ/ΜC και οι γωνίες του MST).

duamba · #8

Ευχαριστώ τον KARKAR

για τον καλό λόγο και τον Doloros

για την ενθαρρυντική παρότρυνση.

Μετά από περισυλλογή κατέληξα στο εξής συμπέρασμα.

: paragwgi-isoplevrou2.png (48.85 KiB) Προβλήθηκε 3132 φορές

Με την κατασκευή των ισόπλευρων τριγώνων $\triangle FAD$ και $\triangle DEC$ έχει επιτευχθεί η στροφή του τμήματος

κατά 60 μοίρες θετικά γύρω απο το

.
Με τον κύκλο (D,DS)

απεικονίζω το σημείο

του περιστραμμένου

στο

του

και άρα $\angle SDT = 60^{\circ}$ .
Επίσης λόγω του κύκλου (D,DS)

έχω

εξ ου και το ζητούμενο.

Ελπίζω να μην έχω πατήσει καμία μπανανόφλουδα.

αρψ2400 έγραψε: Τετ Μάιος 21, 2025 3:06 pm Αν το σημείο Μ είναι οπουδήποτε και οι γωνίες του τριγώνου MST είναι οσοδήποτε ;(Εννοώ δίνονται ο λόγος ΒΜ/ΜC και οι γωνίες του MST).

Ενδιαφέρουσα παραλλαγή, επιφυλάσσομαι να επανέλθω

#9

Αξίζει τον κόπο.

Αν το είναι τυχαίο ή το μέσο της .
Από το φέρουμε ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών και από το ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών. Γράφουμε το κύκλο που επανατέμνει την γενικά στο . To τρίγωνο είναι ισόπλευρο γιατί έχει $\angle MST=\angle MDT=60$ μοιρών και $\angle MTS=\angle MDS=60$ μοιρών.

Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής
ΕΓΡΑΨΑΝ - ΕΙΠΑΝ
https://drive.google.com/file/d/1evwKsq ... lSCTw/view

#10

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Δευ Μάιος 26, 2025 9:38 am Αξίζει τον κόπο.

Αν το είναι τυχαίο ή το μέσο της .
Από το φέρουμε ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών και από το ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών. Γράφουμε το κύκλο που επανατέμνει την γενικά στο . To τρίγωνο είναι ισόπλευρο γιατί έχει $\angle MST=\angle MDT=60$ μοιρών και $\angle MTS=\angle MDS=60$ μοιρών.

Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής
ΕΓΡΑΨΑΝ - ΕΙΠΑΝ
https://drive.google.com/file/d/1evwKsq ... lSCTw/view

Μία, επίσης, όμορφη κατασκευή και με εύκολη απόδειξη.

KARKAR · #11

: Παραγωγή ισ..png (26.69 KiB) Προβλήθηκε 2968 φορές

Το σχήμα της υπέροχης λύσης του Νίκου

#12

george visvikis έγραψε: Δευ Μάιος 26, 2025 9:57 am
ΝΙΚΟΣ έγραψε: Δευ Μάιος 26, 2025 9:38 am Αξίζει τον κόπο.

Αν το είναι τυχαίο ή το μέσο της .
Από το φέρουμε ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών και από το ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών. Γράφουμε το κύκλο που επανατέμνει την γενικά στο . To τρίγωνο είναι ισόπλευρο γιατί έχει $\angle MST=\angle MDT=60$ μοιρών και $\angle MTS=\angle MDS=60$ μοιρών.

Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής
ΕΓΡΑΨΑΝ - ΕΙΠΑΝ
https://drive.google.com/file/d/1evwKsq ... lSCTw/view
Μία, επίσης, όμορφη κατασκευή και με εύκολη απόδειξη.

Γιώργο σε ευχαριστώ πολύ.

Νίκος Κυριαζής

Είναι τυχαίο που προστριβές μόνο με τον κ. Μ. Λάμπρου έχω και με τους κ.κ. Γεν. Συντονιστές, οι οποίοι πάντοτε τον υποστηρίζουν και ας μην έχει δίκιο; Οι υπόλοιποι Μαθηματικοί μόνο καλά και επαινετικά λόγια έγραψαν για μένα και το έργο μου:
ΕΔΩ
και
ΕΔΩ
ποστ136, 137 και 138.

#13

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 26, 2025 9:59 am Παραγωγή ισ..pngΤο σχήμα της υπέροχης λύσης του Νίκου

Θανάση σε ευχαριστώ παραπολύ.

Νίκος Κυριαζής

#14

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Δευ Μάιος 26, 2025 9:38 am Αξίζει τον κόπο.

Αν το είναι τυχαίο ή το μέσο της .
Από το φέρουμε ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών και από το ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών. Γράφουμε το κύκλο που επανατέμνει την γενικά στο . To τρίγωνο είναι ισόπλευρο γιατί έχει $\angle MST=\angle MDT=60$ μοιρών και $\angle MTS=\angle MDS=60$ μοιρών.

Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής
ΕΓΡΑΨΑΝ - ΕΙΠΑΝ
https://drive.google.com/file/d/1evwKsq ... lSCTw/view

: Εγγραφή ισοπλεύρου σε τρίγωνο_δια χειρός ΚΥΡΙΑΖΗ ΝΙΚΟΥ.png (60.25 KiB) Προβλήθηκε 2899 φορές

Εκπληκτικής απλότητας και ομορφιάς κατασκευή και τεκμηρίωση

Έχει πολλές ομοιότητες με τη λύση του Duamba

, αλλά εδώ είναι το κάτι άλλο .

#15

Doloros έγραψε: Δευ Μάιος 26, 2025 8:30 pm
ΝΙΚΟΣ έγραψε: Δευ Μάιος 26, 2025 9:38 am Αξίζει τον κόπο.

Αν το είναι τυχαίο ή το μέσο της .
Από το φέρουμε ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών και από το ευθεία που να τέμνει την στο και να σχηματίζει με την γωνία μοιρών. Γράφουμε το κύκλο που επανατέμνει την γενικά στο . To τρίγωνο είναι ισόπλευρο γιατί έχει $\angle MST=\angle MDT=60$ μοιρών και $\angle MTS=\angle MDS=60$ μοιρών.

Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής
ΕΓΡΑΨΑΝ - ΕΙΠΑΝ
https://drive.google.com/file/d/1evwKsq ... lSCTw/view
Εγγραφή ισοπλεύρου σε τρίγωνο_δια χειρός ΚΥΡΙΑΖΗ ΝΙΚΟΥ.png

Εκπληκτικής απλότητας και ομορφιάς κατασκευή και τεκμηρίωση

Έχει πολλές ομοιότητες με τη λύση του , αλλά εδώ είναι το κάτι άλλο .

Νίκο σε ευχαριστώ παραπολύ.

Επίσης σε ενημερώνω ότι έχω επιτύχει να τεκμηριώσω την απόδειξη της λύσης του φύλου duamba που βασίζεται σε σχετικό γ.τ.
Θα προσπαθήσω να τα αναρτήσω (το γ.τ. και την τεκμηρίωση) αν μπορέσω, γιατί βρίσκω πολλά εμπόδια κυρίως τεχνικά,

Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !

Είναι τυχαίο που προστριβές μόνο με τον κ. Μ. Λάμπρου έχω και με τους κ.κ. Γεν. Συντονιστές, οι οποίοι πάντοτε τον υποστηρίζουν και ας μην έχει δίκιο; Οι υπόλοιποι Μαθηματικοί μόνο καλά και επαινετικά λόγια έγραψαν για μένα και το έργο μου:
ΕΔΩ
και
ΕΔΩ
ποστ136, 137 και 138.

KARKAR · #16

: Τεκμηρίωση.png (85.9 KiB) Προβλήθηκε 2845 φορές

Μια τεκμηρίωση μπορεί να βασιστεί στο παρατιθέμενο σχήμα . ( Το

είναι το σημείο τομής του περικύκλου

του τριγώνου AFD

με την

) . Η λύση στηρίχθηκε στο "θεώρημα τριών ισοπλεύρων" , ( βλέπε εδώ )

και οφείλεται στον Μιχάλη Τσουρακάκη .

#17

Καλό είναι να μην κάνουμε τα πανεύκολα να φαίνονται μεγαλύτερα από το πραγματικό τους μέγεθος. Στα τρία επόμενα ποστ γράφω τρεις απλούστατες λύσεις στο πρόβλημα εγγραφής τριγώνου σε τρίγωνο, κρατώντας το θέμα στο σωστό του μέγεθος, από μαθηματικής πλευράς. Μάλιστα, θα κάνω γενικότερη κατασκευή: Εγγραφή σε δοθέν τρίγωνο ABC

ενός τριγώνου KLM

με δοθείσες γωνίες $\theta, \phi, \omega$ . Στα παραπάνω και οι τρεις είναι 60^o

.

Αν θέλουμε, ακόμη, κάποια κορυφή να είναι συγκεκριμένο σημείο, οι παρακάτω κατασκευές χρειάζονται προσαρμογές. Θα επανέλθω, αν χρειαστεί, αλλά για την ώρα μένω στο πρόβλημα της εγγραφής (το οποίο είναι σαφώς πιο ενδιαφέρον και έχει άπειρες θέσεις που επιλύουν το πρόβλημα).

Μέθοδος 1. Από τυχαίο

της

φέρνουμε ημιευθείες DM, DL

που σχηματίζουν γωνίες $\theta, \phi, \omega$ , όπως στο σχήμα. Φέρνουμε το

ώστε να σχηματίζει με την

γωνία $\theta$ . Τότε από το εγγράψιμο DKLM

, το

είναι το ζητούμενο. Απόδειξη τετριμμένη.
.

#18

Συνέχεια του προηγούμενου.

Μέθοδος 2. Κατασκευάζουμε τυχαίο τρίγωνο XYZ

με γωνίες ίσες προς τις δοθείσες $\theta, \phi, \omega$ , όπου X,Z

πάνω στις πλευρές του ABC

. Φέρνουμε την

η οποία τέμνει την

στο

. Φέρνουμε LK//XY

και

. Από την ομοιότητα των XYZ, KLM

έπεται ότι το KLM

είναι το ζητούμενο. Τελειώσαμε.
.

#19

Συνέχεια των δύο προηγούμενων.

Μέθοδος 3 (δουλεύουμε ανάποδα). Έστω ABC

το δοθέν. Κατασκευάζουμε τρίγωνο K'L'M'

με δοθείσες γωνίες $\theta, \phi, \omega$ . Τώρα περιγράφουμε στο K'L'M'

τρίγωνο όμοιο με το δοθέν: Το πετυχαίνουμε γράφοντας ευθείες a,b

που σχηματίζουν γωνία

και διέρχονται από τα L',K'

. Κατόπιν φέρνουμε ευθεία

που σχηματίζει με την

γωνία

και διέρχεται από

. Με άλλα λόγια έχουμε τρίγωνο A'B'C'

όμοιο με το δοθέν, το οποίο έχει μέσα του εγγεγραμμένο ένα τρίγωνο με δοθείσες γωνίες $\theta, \phi, \omega$ . Τώρα με ομοιότητα φέρνουμε το A'B'C'

να έχει μέγεθος ίσο με το δοθέν. Τελειώσαμε.

Στην πραγματικότητα έχω πέντε απλούστατες μεθόδους της εν λόγω κατασκευής αλλά αρκούμαι στις 3 παραπάνω. Κρατούν το θέμα στην σωστή του διάσταση από μαθηματικής πλευράς.
.

#20

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Μάιος 29, 2025 8:45 am Αν θέλουμε, ακόμη, κάποια κορυφή να είναι συγκεκριμένο σημείο, οι παρακάτω κατασκευές χρειάζονται προσαρμογές. Θα επανέλθω, αν χρειαστεί, αλλά για την ώρα μένω στο πρόβλημα της εγγραφής (το οποίο είναι σαφώς πιο ενδιαφέρον και έχει άπειρες θέσεις που επιλύουν το πρόβλημα).

Μέθοδος 1. Από τυχαίο της φέρνουμε ημιευθείες που σχηματίζουν γωνίες $\theta, \phi, \omega$ , όπως στο σχήμα. Φέρνουμε το ώστε να σχηματίζει με την γωνία $\theta$ . Τότε από το εγγράψιμο , το είναι το ζητούμενο. Απόδειξη τετριμμένη.
.

.
Ας δούμε μία περίπτωση τέτοιας προσαρμογής, στην Μέδοδο 1: Αν θέλουμε η μία κορυφή του ζητούμενου τριγώνου να είναι το μέσον μίας πλευράς (όπως ακριβώς ζητά το αρχικό πρόβλημα), δεν έχουμε παρά να πάρουμε το

σε τέτοια θέση ώστε η

να διέρχεται από το μέσον

της

(κατασκευή τετριμμένη). Τότε το KLM

έχει τις ζητούμενες γωνίες και μία κορυφή του, η

, είναι σε προκαθορισμένη θέση.

Παραγωγή ισοπλεύρου

Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Re: Παραγωγή ισοπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση