Ρίζες πραγματικών και Κλειστότητα συνόλου πραγματικών

[smely_123]

Στο θέμα 37198 της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α' ΓΕΛ, η ξένη βιβλιογραφία διαφωνεί με τη λύση που δίνεται για το α) υποερώτημα. Σύμφωνα με την ξένη βιβλιογραφία, σωστή απάντηση είναι ότι χ ανήκει στο (-∞, +∞). Ένας καθηγητής είπε ότι η θεώρηση ότι οι ρίζες με περιττό δείκτη στο ριζικό και αρνητική υπόρριζη ποσότητα δεν ορίζονται προέκυψε ύστερα από συμφωνία των εκπαιδευτικών για να αποφευγθεί η σύγχυση από τους μαθητές για ποιους δείκτες ορίζονται στο R οι ρίζες. Άλλοι -νεότεροι- υποστήριξαν ότι δεν ορίζονται αρνητικές περιττές ρίζες και ένας εκ των δύο αιτιολόγησε πως το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι κλειστό στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό για αρνητικές περιττές ρίζες. Όμως, έχει κάποιος παράδειγμα που να το αποδεικνύει αυτό;

[Tolaso J Kos]

Αυτή εδώ η συζήτηση ίσως σου ξεδιαλύνει μερικά πράγματα. Αν όχι, εδώ είμαστε …

[smely_123]

Αυτή εδώ η συζήτηση ίσως σου ξεδιαλύνει μερικά πράγματα. Αν όχι, εδώ είμαστε …

Ευχαριστώ, βοήθησε αρκετά

[smely_123]

Άρα, απ' ό,τι φαίνεται, η λύση του συντάκτη του θέματος είναι σωστή επειδή δεν αναφέρεται το σύμβολο ⁿ√α (δε θα είχε νόημα να οριστεί οπότε όλοι ασχολούνται μόνο με τη νιοστή ρίζα - λύση της εξίσωσης) στη βασική βιβλιογραφία (που δε "διαφωνεί" άμεσα από λίγο σοβαρότερη έρευνα), αλλά έχει οριστεί στο πλαίσιο της εκπαίδευσης (όχι μόνο στην Ελλάδα) ως ρίζα μη αρνητικού σε κάθε περίπτωση; Αλλά, μαθηματικά, όσο περίεργο και αν φαίνεται εκ πρώτης όψεως, το ⁿ√α, n=2κ+1 και n∈N και α<0, ανήκει στο R απλώς είναι απολύτως άχρηστο σε αυτό το επίπεδο;

[Tolaso J Kos]

Υπάρχει και αυτό το θέμα.

Ο λόγος που γράφω είναι γιατί πραγματικά υπάρχει πρόβλημα
στις περιττές ρίζες αρνητικών, και θέλω να πω την γνώμη μου.

Στα Σχολικά βιβλία έχει καθιερωθεί να μην ορίζουμε την κυβική ρίζα αρνητικού μέσω της λύσης της . Όποτε χρειαστεί να την γράψουμε, καταφεύγουμε σε "ακροβασία": μείον η κυβική ρίζα του αντιθέτου.

Παραδέχομαι ότι υπάρχουν κάποια παιδαγωγικά πλεονεκτήματα αυτής της επιλογής, αλλά τελικά πιστεύω ότι είναι πολύ περιοριστική που αναιρεί τα όποια πλεονεκτήματα.

Θα προτιμούσα (και έτσι το έκανα στο πάλαι ποτέ βιβλίο Α' τάξης των Πολυκλαδικών Λυκείων που είχα γράψει) να ορίζεται κυβική ρίζα ως η μοναδική λύση της , ότι και αν είναι το a.

Τα πλεονεκτήματα είναι πολλά.

Π.χ. η είναι απλή και ωραία αντίστροφη της αντιστρέψιμης . Γιατί να την χάσουμε;

Επίσης, αν δεν ορίσουμε κυβική ρίζα αρνητικού τότε η λεία συνάρτηση "αντίστροφη της ", δεν παραγωγίζεται (!) για x < 0. Όμως θα μας ήταν χρήσιμο να την διδάσκαμε, αφού η παράγωγος είναι
,
Δηλαδή (εκτός από το 0) έχουμε την κυβική ρίζα θετικού
αριθμού, που ορίζεται μιά χαρά αλλά το πρόβλημα ξεκίνησε από πριν αρχίσουμε να παραγωγίζουμε.

Αυτά τα λίγα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Προσωπικά ορίζω νιοστή ρίζα με αρνητικό υπόρριζο όταν η τάξη της είναι περιττή. Συμφωνώ, δηλ. με το Μιχάλη παραπάνω. Παρόλα αυτά, όπως επισημαίνει και ο Μιχάλης, θέλει προσοχή στις ιδιότητες. Για παράδειγμα:


Τώρα στο σχολείο έχει επικρατήσει να ορίζεται η νιοστή ρίζα μόνο για μη αρνητικούς.

[smely_123]

Προσωπικά ορίζω νιοστή ρίζα με αρνητικό υπόρριζο όταν η τάξη της είναι περιττή. Συμφωνώ, δηλ. με το Μιχάλη παραπάνω. Παρόλα αυτά, όπως επισημαίνει και ο Μιχάλης, θέλει προσοχή στις ιδιότητες. Για παράδειγμα:

Το ότι μια ποσότητα δεν υπακούει στις ιδιότητες που γνωρίζουμε δε σημαίνει απαραίτητα ότι δεν ανήκει στο R. Μάλλον σημαίνει απλά ότι δεν μπορούμε...να την ελέγξουμε. Πάντως, είναι υπέροχο που υπάρχει μια μαθηματική κοινότητα που ερευνά και ακούει απορίες τέτοιου τύπου αντί να πει απλώς "έτσι είναι" χωρίς να το θεωρήσει αξίωμα.