Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#41

Επαναφορά.

Tolaso J Kos · #42

Άσκηση 17

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{n+k}}$

#43

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 08, 2020 1:02 pm
Άσκηση 17

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{n+k}}$

Είναι ουσιαστικά ίδια με την άσκηση 2 (πλην δευτερεύουσας αλλαγής στα νούμερα). Είναι λυμένη στο ποστ #5 και δεύτερη λύση στο ποστ #7.

#44

Μένουν αναπάντητες οι $13,\,14$ και

.

#45

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 11, 2020 10:09 am
Έχω παρατηρήσει ότι μερικές από τις παραπάνω ασκήσεις εμπίπτουν στην εξής περίπτωση, την οποία θέτω ως άσκηση

Άσκηση 13

Έστω $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ συνεχής και μονότονη συνάρτηση και έστω ακολουθία θετικών όρων με $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} a_n=0}$ . Τότε

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} + a_n\right )= \int _0^1 f(x)\,dx}$

(Ωραίο θέμα για διαγώνισμα. Γιατί δεν το είχα σκεφθεί παλαιότερα...)
(Η μονοτονία δεν χρειάζεται. Απλά κάνει την ζωή ευκολότερη αλλά η άσκηση είναι προσιτή έτσι και αλλιώς. Η μονοτονία χρησιμοποιεί λιγότερα εργαλεία).

Θα χρησιμοποιήσω ομοιόμορφη συνέχεια αλλά ως όφελος δεν θα χρησιμοποιήσω την υπόθεση ότι η

είναι μονότονη. Αν χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία η άσκηση γίνεται ευκολότερη και λύνεται χωρίς χρήση της ομοιόμορφης συνέχειας.

Έστω $\epsilon >0$ . Από ομοιόμορφη συνέχεια υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο ώστε για κάθε x,y

με $|x-y|< \delta$ είναι $|f(x)-f(y)|< \epsilon$ .

Έστω τώρα n_0

τέτοιο ώστε για $n\ge n_0$ είναι $|a_n|<\delta$ . Για τέτοια

έχουμε $\displaystyle{f \left ( \dfrac {k}{n} \right ) -\epsilon< f \left ( \dfrac {k}{n} + a_n\right ) < f \left ( \dfrac {k}{n} \right ) + \epsilon}$ . Αθροίζοντας είναι

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} \right ) -\epsilon < \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} + a_n\right ) < \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} \right )+ \epsilon }$ .

Δεδομένου τώρα ότι $\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} \right )\rightarrow \int _0^1 f(x)\,dx}}$ , εύκολα καταλήγουμε ότο το όριο

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} + a_n\right )$ υπάρχει και ότι ισούμε με $\displaystyle{ \int _0^1 f(x)\,dx}}$

#46

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 11, 2020 11:26 pm
Άσκηση 14

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sqrt [n] {\left(n+ d \right ) \left (n+ 2d \right ) \left (n+ 3d \right )\cdot ... \, \cdot \left (n+ nd)} \right )}}$ , όπου .

(Πρόκειται για δίδυμο αδελφάκι της Άσκησης . Η ομοιότητα εκτός από οπτική, είναι βαθύτερη).

Μπορούμε να την κάνουμε απευθείας αλλά θα την κάνω με χρήση του έτοιμου αποτελέσματος της Άσκησης 9. Έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sqrt [n] {\left(n+ d \right ) \left (n+ 2d \right ) \left (n+ 3d \right )\cdot ... \, \cdot \left (n+ nd)} \right )}}$

$\displaystyle{ = \dfrac {1}{n} \sqrt [n] {d^n n^n\left(\dfrac {1}{d} + \dfrac {1}{n} \right ) \left (\dfrac {1}{d} + \dfrac {2}{n} \right ) \left (\dfrac {1}{d} + \dfrac {3}{n} \right )\cdot ... \, \cdot \left (\dfrac {1}{d} + \dfrac {n}{n} \right )}}}$

Αλλά από την Άσκηση 9 ζητάμε το

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 28, 2019 10:32 pm
Άσκηση 9

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \sqrt [n]{\left (c+ \frac {1}{n} \right ) \left (c+ \frac {2}{n} \right ) \left (c+ \frac {3}{n} \right )\cdot ... \, \cdot \left (c+ \frac {n}{n} \right )}}$ , όπου .

το οποίο είναι ουσιαστικά το ίδιο με το ζητούμενο αλλά με

αντί $\frac {1}{d}$ . Έχουμε όμως έτοιμη την απάντηση

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 11:31 pm

$\displaystyle a_n=e^{\ln a_n}\rightarrow e^ {\ln\frac{(c+1)^{c+1}}{ec^c}}=\dfrac{(c+1)^{c+1}}{ec^c}.$

οπότε το ζητούμενο ισούται με $d\cdot \dfrac{(c+1)^{c+1}}{ec^c}= \dfrac {1}{e}(1+d)^{1+1/d}$

#47

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 16, 2020 11:22 pm
Άσκηση 16

Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \displaystyle{ \dfrac {1}{n^{a+1}} \left ( [1^ad]+[2^ad]+[3^ad]+...+[n^ad]\right )}$ , όπου και πραγματικός.

(το δηλώνει ακέραιο μέρος.)

Με χρήση της $k^ad -1 \le [k^ad] < k^ad$ και αθροίζοντας έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {d}{n} \sum _{k=1}^{n} \left (\dfrac {k}{n} \right ) ^a - \dfrac {n}{n^{a+1}}\le \sum _{k=1}^{n} \dfrac {[k^ad]}{n^{a+1}}\le \dfrac {d}{n} \sum _{k=1}^{n} \left (\dfrac {k}{n} \right ) ^a }$

Παίρνοντας όριο $n\to \infty$ και επειδή τα δύο άκρα έχουν κοινό όριο $\displaystyle{d\int _0^1x^adx= \dfrac {d}{a+1}}$ , έπεται ότι το ζητούμενο όριο είναι $\displaystyle{ \dfrac {d}{a+1}}$ .

Tolaso J Kos · #48

Δύο δύσκολες κατά τη γνώμη μου ....

Άσκηση 18

Έστω p_n

ο

-οστός πρώτος και

συνεχής συνάρτηση Riemann ολοκληρώσιμη στο (0, 1)

. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left (\frac{p_k}{p_n} \right ) = \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Άσκηση 19

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής περιοδική συνάρτηση με περίοδο

και $\alpha$ ένας άρρητος αριθμός. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left ( k \alpha \right ) = \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Tolaso J Kos · #49

Άσκηση 20

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{n+1 + \sqrt{nk}}{n + \sqrt{nk}}}$ .

#50

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 08, 2022 11:53 pm
Δύο δύσκολες κατά τη γνώμη μου ....
...

Άσκηση 19

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής περιοδική συνάρτηση με περίοδο και $\alpha$ ένας άρρητος αριθμός. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left ( k \alpha \right ) = \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}$

.
Επειδή η άσκηση (πολύ σωστά) μεταφέρθηκε σε άλλο θρεντ, έγραψα εκεί λύση (τα κύρια βήματα) της παραπάνω. Βλέπε εδώ.

Πιστεύω ότι, όπως επισημαίνει ο θεματοθέτης, ο Τόλης, η άσκηση αυτή, όπως και η 18, είναι δύσκολες για το εδώ θρεντ. Γι΄αυτό έγραψα το ποστ στο νέο θρεντ.

Έχω λύση και της Άσκησης 18, που θα την γράψω εν καιρώ, στο νέο θρεντ.

#51

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 08, 2022 11:53 pm
Δύο δύσκολες κατά τη γνώμη μου ....

Άσκηση 18

Έστω ο -οστός πρώτος και συνεχής συνάρτηση Riemann ολοκληρώσιμη στο . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left (\frac{p_k}{p_n} \right ) = \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Επειδή η άσκηση (πολύ σωστά) μεταφέρθηκε σε άλλο θρεντ, έγραψα εκεί λύση της παραπάνω. Βλέπε εδώ.

Πιστεύω ότι, όπως επισημαίνει ο θεματοθέτης, ο Τόλης, η άσκηση αυτή, όπως και η 19, είναι δύσκολες για το εδώ θρεντ. Γι΄αυτό έγραψα το ποστ στο νέο θρεντ.

#52

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 21, 2022 10:22 pm
Άσκηση 20

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{n+1 + \sqrt{nk}}{n + \sqrt{nk}}}$ .

Ξεχάστηκε.

Απάντηση: $\dfrac {1}{4}e^{2}$

Παίρνοντας λογάριθμο το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση του ορίου του

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \ln \left (\frac{n+1 + \sqrt{nk}}{n + \sqrt{nk}}} \right ) = \sum_{k=1}^{n} \ln \left (1+ \frac{1 }{n + \sqrt{nk}}} \right )= \sum_{k=1}^{n} \left ( \dfrac{1 }{n + \sqrt{nk}}} + \big O \left ( \dfrac {1}{n^2}\right ) \right )=}$

$\displaystyle{ = \sum_{k=1}^{n} \dfrac {1}{n} \cdot \dfrac{1 }{1+ \sqrt{\dfrac {k}{n}}}} + \big O \left ( \dfrac {1}{n}\right )\to \int _0^1 \dfrac{dx }{1+ \sqrt{x}}}$

To ολοκλήρωμα είναι απλό με αλλαγή μεταβλητής x=t^2

. Θα δώσει $\displaystyle{ \int _0^1 \dfrac{dx}{1+ \sqrt{x}}= 2 \left [\sqrt x- \ln(1+\sqrt x) \right ]_0^1= 2-2\ln 2}$ , από όπου το ζητούμενο, απολογαριθμίζοντας.

#53

Άσκηση 21 Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \left ( \dfrac {n}{n^2+1^2} + \dfrac {n}{n^2+2^2}+ \dfrac {n}{n^2+3^2} + ... + \dfrac {n}{n^2+n^2} \right ) }$

Tolaso J Kos · #54

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 07, 2025 3:45 pm
Άσκηση 21 Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \left ( \dfrac {n}{n^2+1^2} + \dfrac {n}{n^2+2^2}+ \dfrac {n}{n^2+3^2} + ... + \dfrac {n}{n^2+n^2} \right ) }$

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{k^2+n^2} & = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{k^2+n^2} \\ & = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \left( \frac{k}{n} \right)^2} \\ & \longrightarrow \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{x^2+1} \\ & = \left[ \arctan x \right]_0^1 = \frac{\pi}{4} \end{aligned}}$

#55

Άσκηση 22 Έστω a>0

. Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{n^2} \sum _{k=1}^n \sqrt {(na+k)(na+k+1) }$

Υπάρχει όμως ένας περιορισμός: Ζητάμε λύση χωρίς χρήση αθροισμάτων Riemann, παρ' όλο που η άσκηση φαίνεται να μας προσκαλεί να την αντιμετωπίσουμε με αθροίσματα Riemann.

#56

Επαναφορά.

abfx · #57

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 08, 2025 11:31 pm
Άσκηση 22 Έστω . Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{n^2} \sum _{k=1}^n \sqrt {(na+k)(na+k+1) }$

Υπάρχει όμως ένας περιορισμός: Ζητάμε λύση χωρίς χρήση αθροισμάτων Riemann, παρ' όλο που η άσκηση φαίνεται να μας προσκαλεί να την αντιμετωπίσουμε με αθροίσματα Riemann.

Είναι: $\displaystyle \frac {1}{n^2} \sum _{k=1}^n \sqrt {(na+k)(na+k+1) }\geq \dfrac {1}{n^2} \sum _{k=1}^n \sqrt {(na+k)(na+k) }=$

$\displaystyle =\frac {1}{n^2} \sum _{k=1}^n(na+k)=\frac {1}{n^2} (n^2a+\frac{n(n+1)}{2})=a+\frac{n(n+1)}{2n^2}\longrightarrow a+\frac{1}{2}\text{ }(1)$ .

Επίσης, $\displaystyle \frac {1}{n^2} \sum _{k=1}^n \sqrt {(na+k)(na+k+1) }\leq\displaystyle \frac {1}{n^2} \sum _{k=1}^n \sqrt {(na+k+1)(na+k+1) }=$

$=\displaystyle \frac {1}{n^2} \sum _{k=1}^n (na+k+1)=\displaystyle \frac {1}{n^2} (n^2a+\frac{n(n+3)}{2})=a+\frac{n(n+3)}{2n^2}\longrightarrow a+\frac{1}{2}\text{ }(2)$ .

Από (1),(2)

προκύπτει ότι $\displaystyle \frac {1}{n^2} \sum _{k=1}^n \sqrt {(na+k)(na+k+1) } \longrightarrow a+\frac{1}{2}$ .

Σχόλιο: Μπορούμε να πάρουμε πιο "αιχμηρή" εκτίμηση από πάνω χρησιμοποιώντας την ανισότητα
Αριθμητικού-Γεωμετρικού Μέσου με τον προφανή τρόπο.

#58

Άσκηση 23 Έστω a>1

. Να βρεθούν τα όρια

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{n} \left ( a^{\frac {1}{n} }+ a^{\frac {2}{n}}+ ...+ a^{\frac {n}{n} }\right )$ και

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{n} \ln \left ( a^{\frac {n}{1} }+ a^{\frac {n}{2}}+ ...+ a^{\frac {n}{n} }\right )$

Για την δεύτερη μπορείτε να μην κάνετε χρήση αθροισμάτων Riemann.

panosgl2006 · #59

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 14, 2025 8:58 pm
Άσκηση 23 Έστω . Να βρεθούν τα όρια

1) $\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{n} \left ( a^{\frac {1}{n} }+ a^{\frac {2}{n}}+ ...+ a^{\frac {n}{n} }\right )$

2) $\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{n} \ln \left ( a^{\frac {n}{1} }+ a^{\frac {n}{2}}+ ...+ a^{\frac {n}{n} }\right )$

Λύση:
1)
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a^{\frac{k}{n}}=\int_0^1 a^x dx=\frac{a-1}{\ln a}$

2)
$\displaystyle \frac{1}{n}\ln {a^n}\leq \frac{1}{n} \ln \left( \sum_{k=1}^{n}a^{\frac{n}{k}} \right) \leq \frac{1}{n}\ln \left( na^n \right) \quad \forall n \in \mathbb{N}$

και όπως βλέπουμε και το κάτω και το άνω φράγμα τείνουν στο $\ln a$

#60

Άσκηση 24 Να βρεθεί χωρίς χρήση αθροισμάτων Riemann το όριο

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \left ( 1+ \dfrac {1}{n^2} \right ) \left ( 1+ \dfrac {2}{n^2} \right )\left ( 1+ \dfrac {3}{n^2} \right ) \cdot ...\cdot \left ( 1+ \dfrac {n}{n^2} \right ) }$

Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση