Κάποτε θα γίνουν ίσες

[KARKAR]

Κάποτε θα γίνουν ίσες.png (8.51 KiB) Προβλήθηκε 1175 φορές

Σημείο κινείται στο τμήμα στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος . Βρείτε

με όποιον τρόπο θέλετε την θέση του , για την οποία είναι : .

[Mihalis_Lambrou]

Κάποτε θα γίνουν ίσες.pngΣημείο κινείται στο τμήμα στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος . Βρείτε

με όποιον τρόπο θέλετε την θέση του , για την οποία είναι : .

.
H είναι διχοτόμος της , οπότε και το βρίσκεται στον κύκλου του Απολλωνίου των σημείων που ικανοποιούν την .

Γράφουμε τον εν λόγω κύκλο. Συγκεκριμένα, έχει διάμετρο την , όπου το σημείο εξωτερικά της με (δηλαδή βρίσκεται σε απόσταση από το ). Εκεί που ο κύκλος τέμνει την είναι το ζητούμενο σημείο .
.

[george visvikis]

Η πλέον ενδεδειγμένη λύση είναι του Μιχάλη με τη χρήση του Απολλώνιου κύκλου.

Αποδεικνύεται πάντως ότι

[Doloros]

Κάποτε θα γίνουν ίσες.pngΣημείο κινείται στο τμήμα στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος . Βρείτε

με όποιον τρόπο θέλετε την θέση του , για την οποία είναι : .

Γιατί ο θανάσης πήρε ειδικό τρίγωνο ; Άραγε η πρόταση ισχύει σε τυχαίο τρίγωνο ;

Έστω τυχαίο τρίγωνο και ένα εσωτερικό σημείο , του τμήματος αλλά όχι το μέσο του .

Η πολική του ( η οποιουδήποτε άλλου σημείου της ) ως προς τις ευθείες είναι ευθεία διερχομένη δια του

και μη παράλληλη στην , συνεπώς θα τέμνει την ευθεία σε σημείο ,

Κάποτε θα γίνουν ίσες_γενίκευση.png (30.89 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές

Η δέσμη είναι αρμονική και συνεπώς αν η προβολή του στην είναι το σημείο ,

Τότε : ( )

Πάλι βεβαίως έχουμε Απολλώνιο κύκλο, χωρίς συγκεκριμένα νούμερα.

[KARKAR]

Γιατί ο Θανάσης πήρε ειδικό τρίγωνο ; Άραγε η πρόταση ισχύει σε τυχαίο τρίγωνο ;

Έστω τυχαίο τρίγωνο και ένα εσωτερικό σημείο , του τμήματος αλλά όχι το μέσο του .

Κάποτε λύση.png (10.67 KiB) Προβλήθηκε 1103 φορές

Έστω το συμμετρικό του ως προς άξονα την ευθεία . Η τέμνει την στο ζητούμενο .

Στο τρίγωνο του αρχικού σχήματος μπορούμε να εργαστούμε και με συντεταγμένες , ( "με όποιον τρόπο θέλετε" ) .

[Mihalis_Lambrou]

Άραγε η πρόταση ισχύει σε τυχαίο τρίγωνο ;

Αλλιώς (το γενικό): Φέρνουμε την μεσοκάθετο της και έστω ότι τέμνει την στο . Γράφουμε τον κύκλο . Ο κύκλος αυτός τέμνει την στο ζητούμενο σημείο διότι το βλέπει υπό ίσες γωνίες τα ίσα τόξα

[george visvikis]

Κάποτε θα γίνουν ίσες.pngΣημείο κινείται στο τμήμα στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος . Βρείτε

με όποιον τρόπο θέλετε την θέση του , για την οποία είναι : .

Μία υπολογιστική.

Θέτω και λόγω της διχοτόμου είναι Από τον τύπο της διχοτόμου

Κάποτε θα γίνουν ίσες.png (12.88 KiB) Προβλήθηκε 1073 φορές

Είναι ακόμα και με στο βρίσκω Έτσι εντοπίζεται το σημείο

Στη συνέχεια εύκολα αποδεικνύεται ότι ή

[KARKAR]

Κάποτε καρτεσιανή λύση.png (7.51 KiB) Προβλήθηκε 1061 φορές

Η ευθεία έχει εξίσωση : . Επίσης από θεώρημα διχοτόμου είναι : .

Δηλαδή : , με δεκτή λύση το σημείο : .

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Κάποτε θα γίνουν ίσες.pngΣημείο κινείται στο τμήμα στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος . Βρείτε

με όποιον τρόπο θέλετε την θέση του , για την οποία είναι : .

Όλες οι παραπάνω λύσεις είναι ωραίες, αλλά αυτή που μου άρεσε περισσότερο είναι η λύση στο # 6 (του Μιχάλη Λάμπρου)

Από θ.διχοτόμου ΄,αν τότε και με τους συμβολισμούς του σχήματος ,προφανώς είναι μέσον του

Έτσι, είναι κ.βάρους του τριγώνου ,συνεπώς

Αλλά

Ο κύκλος τέμνει την στο ζητούμενο σημείο

Κάποτε θα γίνουν ίσες.png (16.94 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές