Ημιπερίμετρος

KARKAR · #1

: Ημιπερίμετρος.png (9.14 KiB) Προβλήθηκε 949 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι

. Στις πλευρές AB , BC

,

θεωρούμε σημεία S , P

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : SB+BP=20

. Δείξτε ότι

το μέσο

του τμήματος

, είναι σημείο της ευθείας : y=4x-20

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 10, 2025 5:34 am Ημιπερίμετρος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι . Στις πλευρές ,

θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Δείξτε ότι

το μέσο του τμήματος , είναι σημείο της ευθείας : .

.
H υποτείνουσα του τριγώνου είναι $AC=\sqrt {8^2+15^2}=17$ . Aν οι συντεταγμένες είναι $S(s,0), \, P(p,q), \B(15,0)$ τότε

α) Εφ' όσον το

είναι στην

ικανοποιεί την εξίσωσή της, δηλαδή ισχύει $q=-\dfrac {8}{15}(x-15), \,(*)$

β) Είναι SB=15-s

οπότε από την δοθείσα σχέση είναι BP=20-SB=20-(15-s)=5+s

. Tώρα, αν φέρουμε την κάθετο από το

στον αξονα των

έχουμε από το Θεώρημα του Θαλή

$\dfrac {CA}{CB}= \dfrac {q}{BP}$ , άρα $\dfrac {8}{17}= \dfrac {q}{5+s}, \, (**)$ . Λύνοντας τις (*),(**)

θα βρούμε

$p=\dfrac {180}{17}- \dfrac {15}{17}s, \, q= \dfrac {40}{17}+ \dfrac {8}{17}s$ . Άρα το μέσον

του

έχει συντεταγμένες

$\boxed {\left (\dfrac {p+s}{2}, \, \dfrac {q}{2}\right )= \left (\dfrac {90}{17}+ \dfrac {s}{17}, \,\dfrac {20}{17}+ \dfrac {4}{17} s\right )}$

Εύκολα τώρα ελέγχουμε ότι οι συντεταγμένες αυτές ικανοποιούν την y=4x-20

.

AIAS · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 10, 2025 5:34 am Ημιπερίμετρος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι . Στις πλευρές ,

θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Δείξτε ότι

το μέσο του τμήματος , είναι σημείο της ευθείας : .

Λίγο διαφορετικά

Έστω το σημείο $S\left( {k,0} \right)$ του τμήματος AB = 15

, άρα

( με τις σχηματικές προτροπές του Θανάση ) 0 < k < 15

.

Γράφω τον κύκλο $\left( {C,m} \right)$ με $\boxed{m = 12 - k > 0}$ που τέμνει την υποτείνουσα BC = 17

στο σημείο

και θα είναι :

SB + BP = 15 - k + 17 - m = 32 - (k + m) = 20

, για κάθε θέση του

εσωτερικά του

.

Επειδή , $CB:\,\,\,\dfrac{x}{{15}} + \dfrac{y}{8} = 1\,\,\,\,\left( 1 \right)$ και η εξίσωση του κύκλου , $\left( {C,m} \right)$ είναι , ${x^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = {\left( {12 - k} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right)$

: Ημιπερίμετρος.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

Από το σύστημα των $\left( 1 \right)\,\,,\,\,\left( 2 \right)$ έχουμε : $P:\,\,\,P\left( {\dfrac{{15\left( {12 - k} \right)}}{{17}},8 - \dfrac{{8\left( {12 - k} \right)}}{{17}}} \right)$ . Αν το μέσο

του

είναι $M\left( {x,y} \right)$ θα είναι :

$x = \dfrac{{k + 90}}{{17}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = \dfrac{{4\left( {k + 5} \right)}}{{17}}$ , διώχνω την παράμετρο

μεταξύ των δύο προηγουμένων σχέσεων κι έχω την εξίσωση

Της γραμμής που ανήκει το

, $\boxed{y = 4\left( {x - 5} \right)}$

Ημιπερίμετρος

Ημιπερίμετρος

Re: Ημιπερίμετρος

Re: Ημιπερίμετρος

Μέλη σε σύνδεση