Ασυνήθιστη εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Ασυνήθιστη εφαπτομένη.png (16.04 KiB) Προβλήθηκε 1032 φορές

Σημείο

βρίσκεται σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB

. Η μεσοκάθετος της ακτίνας

τέμνει

την διάμετρο στο

και το τόξο στο

. Αν :

, υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 12, 2025 10:32 am Ασυνήθιστη εφαπτομένη.pngΣημείο βρίσκεται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Η μεσοκάθετος της ακτίνας τέμνει

την διάμετρο στο και το τόξο στο . Αν : , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Είναι $MT = \sqrt {OT^2 - OM^2} =\sqrt {R^2 - \frac {R^2 }{4}} = \dfrac {R\sqrt 3}{2}$ .

Η δοθείσα τώρα γράφεται $2OM \tan \theta = MT$ , ισοδύναμα $2\dfrac {R}{2} \tan \theta = \dfrac {R\sqrt 3}{2}$ . Άρα $\boxed {\tan \theta = \dfrac {\sqrt 3}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 12, 2025 10:32 am Ασυνήθιστη εφαπτομένη.pngΣημείο βρίσκεται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Η μεσοκάθετος της ακτίνας τέμνει

την διάμετρο στο και το τόξο στο . Αν : , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Ας είναι

το σημείο τομής της

με το κάτω ημικύκλιο. Επειδή OT = OC = r

, αναγκαστικά $PC = PM\,\,\left( 1 \right)$ .

Θέτω $PC = m \Rightarrow CM = MT = 2m\,\,\,\left( 2 \right)$ . Έστω δε ακόμη $SM = MO = k \Rightarrow OQ = 2k\,\,\left( 3 \right)$ .

: Ασυνήθιστη Εφαπτομένη_κατασκευή.png (26.99 KiB) Προβλήθηκε 989 φορές

Επειδή $MS \cdot MQ = MC \cdot MT \Rightarrow \boxed{3{k^2} = 4{m^2}}\,\,\left( 4 \right)$ . Έτσι τώρα λόγω της $\left( 4 \right)$ , $\boxed{{{\tan }^2}\theta = \frac{{{m^2}}}{{{k^2}}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \tan \theta = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}$

Δείτε ακόμη ότι το $\vartriangle OSC$ είναι ισόπλευρο ( μάλλον από δω είχε την έμπνευση της άσκησης , ο Θανάσης)

: Ασυνήθιστη Εφαπτομένη_κατασκευή extra.png (18.57 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 12, 2025 10:32 am Ασυνήθιστη εφαπτομένη.pngΣημείο βρίσκεται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Η μεσοκάθετος της ακτίνας τέμνει

την διάμετρο στο και το τόξο στο . Αν : , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Με

μέσον της

προφανώς $\angle NOM= \theta$ .

Το τρίγωνο OST

είναι ισόπλευρο πλευράς

άρα $MN= \dfrac{R \sqrt{3} }{4}$ και $tan \theta = \dfrac{MN}{OM}= \dfrac{ \dfrac{ \sqrt{3} }{4} }{ \dfrac{R}{2} }= \dfrac{ \sqrt{3} }{2}$

: Ασυνήθιστη εφαπτομένη.png (20.03 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Ασυνήθιστη εφαπτομένη

Ασυνήθιστη εφαπτομένη

Re: Ασυνήθιστη εφαπτομένη

Re: Ασυνήθιστη εφαπτομένη

Re: Ασυνήθιστη εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση