Γωνίες επταγώνου

[Mihalis_Lambrou]

eptagono.png (21.78 KiB) Προβλήθηκε 1321 φορές

.
Έστω επτάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Έστω ακόμη ότι το κέντρο του κύκλου είναι εσωτερικό σημείο του επταγώνου (όπως στο σχήμα) ή στην περίμετρο (πάντως όχι εξωτερικό του επταγώνου).

α) Δείξτε ότι .

β) Δώστε παράδειγμα εγγεγραμμένου επταγώνου ως άνω όπου το εν λόγω άθροισμα .

γ) Δώστε παράδειγμα κυρτού επταγώνου όπου το εν λόγω άθροισμα .

(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.)

Edit αργότερα: Πρόσθεσα την συνθήκη που έγραψα με κόκκινο. Βλέπε την παρακάτω συζήτηση. Ευχαριστώ τον αρψ2400 για την επισήμανση του σφάλματός μου.

.

[αρψ2400]

Το α) δεν ισχύει χωρίς κάποια άλλη (επιπρόσθετη) συνθήκη.

[Mihalis_Lambrou]

Το α) δεν ισχύει χωρίς κάποια άλλη (επιπρόσθετη) συνθήκη.

To εννοώ κυρτό. Ισοδύναμα, μη αυτοτεμνόμενο.

Στην τάξη που απευθύνεται η άσκηση, όταν λέμε πολύγωνο, εννοούμε ότι δεν αυτοτέμνεται. Αντιθέτως, όταν θέλουμε να επιτρέψουμε να αυτοτέμνεται ένα πολύγωνο, το δηλώνουμε ρητά. Για παράδειγμα, στα Στοιχεία του Ευκλείδη, ποτέ μα ποτέ δεν εμφανίζεται αυτοτεμνόμενο πολύγωνο, παρ' όλο που μελετά συστηματικά τα πολύγωνα και ποτέ δεν δηλώνεται ότι δεν αυτοτέμνεται. Τέτοια περίπτωση εννοείται στην άσκηση.

[αρψ2400]

Το α) δεν ισχύει χωρίς κάποια άλλη (επιπρόσθετη) συνθήκη.

To εννοώ κυρτό. Ισοδύναμα, μη αυτοτεμνόμενο.

Στην τάξη που απευθύνεται η άσκηση, όταν λέμε πολύγωνο, εννοούμε ότι δεν αυτοτέμνεται. Αντιθέτως, όταν θέλουμε να επιτρέψουμε να αυτοτέμνεται ένα πολύγωνο, το δηλώνουμε ρητά. Για παράδειγμα, στα Στοιχεία του Ευκλείδη, ποτέ μα ποτέ δεν εμφανίζεται αυτοτεμνόμενο πολύγωνο, παρ' όλο που μελετά συστηματικά τα πολύγωνα και ποτέ δεν δηλώνεται ότι δεν αυτοτέμνεται. Τέτοια περίπτωση εννοείται στην άσκηση.

[Mihalis_Lambrou]

Έχεις δίκιο. Mea culpa.

Ξέχασα να προσθέσω την συνθήκη ότι το κέντρο του κύκλου είναι εσωτερικό σημείο του επταγώνου.

Το προσθέτω στην εκφώνηση.

Ευχαριστώ για την επισήμανση.

[αρψ2400]

Έχεις δίκιο. Mea culpa.

Ξέχασα να προσθέσω την συνθήκη ότι το κέντρο του κύκλου είναι εσωτερικό σημείο του επταγώνου.

Το προσθέτω στην εκφώνηση.

Ευχαριστώ για την επισήμανση.

Παρακαλώ.Είναι ωραία άσκηση και μέσα στην ύλη της Β Γυμνασίου.

[Mihalis_Lambrou]

eptagono.png
.
Έστω επτάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Έστω ακόμη ότι το κέντρο του κύκλου είναι εσωτερικό σημείο του επταγώνου (όπως στο σχήμα) ή στην περίμετρο (πάντως όχι εξωτερικό του επταγώνου).

α) Δείξτε ότι .

β) Δώστε παράδειγμα εγγεγραμμένου επταγώνου ως άνω όπου το εν λόγω άθροισμα .

γ) Δώστε παράδειγμα κυρτού επταγώνου όπου το εν λόγω άθροισμα .

.

eptagono 2.png (29.68 KiB) Προβλήθηκε 1059 φορές

.
α) H εξωτερική γωνία , οπότε . Όμοια . Επίσης, επειδή είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου (διότι το είναι εσωτερικό ή στην περίμετρο του επταγώνου), είναι . Άρα

. Ισοδύναμα

, από όπου , όπως θέλαμε.

Το β) είναι τώρα εύκολο, παίρνοντας , δηλαδή η να είναι διάμετρος. Το γ) υπάρχει στα παραπάνω.