Μεγιστοποίηση γινομένου

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση γινομένου.png (26.29 KiB) Προβλήθηκε 887 φορές

Με κέντρα τα άκρα του τμήματος OK=4

, γράφουμε τους κύκλους (O,3) , (K,4)

και ονομάζουμε

το ένα από

τα δύο σημεία τομής τους . Μεταβλητή ευθεία διερχόμενη από το

, ξανατέμνει τους κύκλους στα σημεία

και

.

Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : $AS \cdot AT$ και υπολογίστε το τμήμα

κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 28, 2025 7:51 am
Μεγιστοποίηση γινομένου.pngΜε κέντρα τα άκρα του τμήματος , γράφουμε τους κύκλους και ονομάζουμε το ένα από

τα δύο σημεία τομής τους . Μεταβλητή ευθεία διερχόμενη από το , ξανατέμνει τους κύκλους στα σημεία και .

Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : $AS \cdot AT$ και υπολογίστε το τμήμα κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .

: megistopoiisi.png (35.5 KiB) Προβλήθηκε 856 φορές

.
Με

, θέλουμε το μέγιστο του 4xy

.

Είναι $OP= \sqrt {3^2-x^2}, \, KQ= \sqrt {4^2-y^2}$ . Από το Πυθαγόρειο στο ORK

έχουμε

, που σημαίνει

$(x+y)^2+ ( \sqrt {4^2-y^2} -\sqrt {3^2-x^2})^2=16$ . Άρα μετά τις πράξεις

$2xy+9= 2\sqrt {3^2-x^2}\sqrt {4^2-y^2}$ και με νέα ύψωση στο τετράγωνο είναι 64x^2+36y^2+36xy=495

.

H τελευταία γράφεται $\boxed {132xy= 495-(8x-6y)^2}$ .

Άρα το μέγιστο του αριστερού μέλους είναι όταν 8x-6y=0

, και είναι τότε 132xy=495

. Λύνοντας το σύστημα των δύο θα βρούμε

$\dfrac {1}{2} SA= x= \dfrac {3\sqrt {5}}{4}, \dfrac {1}{2} AT= y=\sqrt 5$ και άρα το ζητούμενο μέγιστο είναι $\boxed {4xy =15}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 28, 2025 7:51 am
Μεγιστοποίηση γινομένου.pngΜε κέντρα τα άκρα του τμήματος , γράφουμε τους κύκλους και ονομάζουμε το ένα από

τα δύο σημεία τομής τους . Μεταβλητή ευθεία διερχόμενη από το , ξανατέμνει τους κύκλους στα σημεία και .

Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : $AS \cdot AT$ και υπολογίστε το τμήμα κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης .

Ο μικρός κύκλος τέμνει την

στα $B\,\,,\,\,C$ και τον μεγάλο ακόμα στο

, άρα $CZ = 1 + 4 = 5\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Φέρνω την εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο

και την

. Οι δυο αυτές ευθείες τέμνονται στο

.

Το τετράπλευρο TOSE

είναι εγγράψιμο με διάμετρο την

και κέντρο το μέσο της

.

Ας είναι δε

το σημείο τομής του κύκλου $\left( {L,LO} \right)$ με την ευθεία

.

: Μεγιστοποίηση γινομένου_new_Ανάλυση.png (38.16 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}\,\,$ ( Από το εγγεγραμμένο TAOZ

) και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_5}} = \widehat {{a_6}}$ ( Η δεύτερη ισότητα από το εγγεγραμμένο TOSE

).

Συνεπώς , $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_6}} \Rightarrow OZ = OE = 8\,\,\,\left( 2 \right)\,\,$ .

Τώρα θα έχουμε: $AS \cdot AT = AO \cdot AQ \Rightarrow AS \cdot AT = 3 \cdot AQ \leqslant 3 \cdot HE$ ( Η χορδή

είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου ,

).

Το ίσον ισχύει όταν , το

ταυτιστεί με το

και το

βρεθεί στην ευθεία

. τότε :

: Μεγιστοποίηση γινομένου_new_ok.png (29.57 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές

${\left( {AS \cdot AT} \right)_{\max }} = OA \cdot AE = 3 \cdot 5 = 15$ . Επειδή θα είναι $A{Z^2} = O{Z^2} - O{A^2} = {8^2} - {3^2} = 55$

θα είναι $E{Z^2} = E{A^2} + A{Z^2} = 25 + 55 = 80 = 16 \cdot 5 = {\left( {4\sqrt 5 } \right)^2}$ και άρα $AT = \dfrac{{EZ}}{2} = 2\sqrt 5$ . Αλλά $AS \cdot 2\sqrt 5 = 15 \Rightarrow AS = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}$

Οπότε : $\boxed{ST = \dfrac{{7\sqrt 5 }}{2}}$ .

Μεγιστοποίηση γινομένου

Μεγιστοποίηση γινομένου

Re: Μεγιστοποίηση γινομένου

Re: Μεγιστοποίηση γινομένου

Μέλη σε σύνδεση