Γεωμετρία και ανάλυση

KARKAR · #1

: Γεωμετρία και ανάλυση.png (8.36 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές

Αν :

, βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

, για το οποίο είναι :

2SA^2+SB^2=144

. Βρείτε και το μέγιστο του αθροίσματος : SA+SB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 05, 2025 4:56 am
Γεωμετρία και ανάλυση.pngΑν : , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου , για το οποίο είναι :

. Βρείτε και το μέγιστο του αθροίσματος : .

Θέτω

και από την υπόθεση έχω:

$\displaystyle 2({x^2} + {y^2}) + {(x - 6)^2} + {y^2} = 144 \Leftrightarrow$ $\boxed {{(x - 2)^2} + {y^2} = 40}}$ που είναι και η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου.

Αντικαθιστώντας $\displaystyle {y^2} = 40 - {(x - 2)^2},$ βρίσκω $\displaystyle SA + SB = \sqrt {36 + 4x} + \sqrt {72 - 8x},$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων

παίρνω $\boxed{ {(SA + SB)_{\max }} = 6\sqrt 6}$ όταν $\boxed{x=-3, y=\pm \sqrt {15}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 05, 2025 4:56 am
Αν : , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου , για το οποίο είναι :

. Βρείτε και το μέγιστο του αθροίσματος : .

Μπορούμε να λύσουμε την άσκηση με Ευκλείδεια μέσα αλλά γράφω μία λύση με Αναλυτική, γιατί είναι τυφλοσούρτης.

Με αρχή των αξόνων το

είναι

. Aν

, η σχέση

γράφεται

, από όπου

$\boxed { (x-2)^2+y^2=40}$ (κύκλος κέντρου (2,0)

και ακτίνας $\sqrt {40}$ .

Επίσης, $SA+SB= \sqrt {x^2+y^2}+ \sqrt {(x-6)^2+y^2}= \sqrt {36+4x}+ \sqrt {72-8x}$ . Για το μέγιστο μπορούμε να παραγωγίσουμε (αλλά μπορούμε με πιο κλασικά μέσα, με χρήση της C-S). Θα βρούμε παράγωγο

$\dfrac {\sqrt {18-2x}-2 \sqrt {9+x}}{\sqrt {18-2x} \sqrt {9+x}}$ . Η ρίζα του αριθμητή είναι x=-3

, και άρα η τιμή του μεγίστου είναι $\boxed {6\sqrt 6}}$

Edit αργότερα: Με πρόλαβε ο Γιώργος όσο έγραφα, και με ακριβώς την ίδια λύση. Το αφήνω.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 05, 2025 10:27 am

Επίσης, $SA+SB= \sqrt {x^2+y^2}+ \sqrt {(x-6)^2+y^2}= \sqrt {36+4x}+ \sqrt {72-8x}$ . Για το μέγιστο μπορούμε να παραγωγίσουμε (αλλά μπορούμε με πιο κλασικά μέσα, με χρήση της C-S).

Ας το δούμε, για να πω ότι έκανα κάτι ως προς την άσκηση: Έχουμε

$\sqrt {36+4x}+ \sqrt {72-8x} = \dfrac {\sqrt 2}{2} \sqrt {72+8x}+ \sqrt {72-8x} \le$

$\le ^{C-S}\sqrt { \dfrac {1}{2}+1} \sqrt {(72+8x)+(72-8x)}=6\sqrt 6$

με ισότητα όταν x=-3

. Και λοιπά.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 05, 2025 4:56 am
Αν : , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου , για το οποίο είναι :

. Βρείτε και το μέγιστο του αθροίσματος : .

.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 05, 2025 10:27 am
Μπορούμε να λύσουμε την άσκηση με Ευκλείδεια μέσα ...

.

: geom anal.png (20.25 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές

.
Ας δούμε λύση με Ευκλείδεια μέσα: Χωρίζουμε το

σε λόγο

, οπότε, αφού AB=6

, είναι $AD=2, \, DB=4$ .

Από to θεώρημα Stewart έχουμε $4SA^2+2SB^2= AB(d^2+2\times 4)$ . Άρα από την δοθείσα έχουμε $2\times 144 =2( 2SA^2+SB^2)= 6(d^2+8)$

Έπεται ότι d^2=40

(σταθερό για όλες τις θέσεις του

). Επειδή και το

είναι σταθερό, σημαίνει ότι ο γ.τ. του

είναι κύκλος κέντρου

και ακτίνας $\sqrt {40}$ .

mathematica.gr

Γεωμετρία και ανάλυση

Γεωμετρία και ανάλυση

Re: Γεωμετρία και ανάλυση

Re: Γεωμετρία και ανάλυση

Re: Γεωμετρία και ανάλυση

Re: Γεωμετρία και ανάλυση

Μέλη σε σύνδεση