Παρά 5 το Πυθαγόρειο Θεώρημα

#1

: Pithag 5.png (16.83 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

.
Στις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου ABC

σχεδιάζουμε εξωτερικά του από ένα τετράγωνο. Συνδέουμε τις κορυφές D,E

και τις

, όπως στο σχήμα. Δείξτε ότι ισχύει DE^2+FG^2=5BC^2

(Κάνει και για Junior.)

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Αύγ 09, 2025 9:45 pm Pithag 5.png
.
Στις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου σχεδιάζουμε εξωτερικά του από ένα τετράγωνο. Συνδέουμε τις κορυφές και τις , όπως στο σχήμα. Δείξτε ότι ισχύει

(Κάνει και για Junior.)

.

: παρ ολίγο Πυθαγόρειο.png (25.66 KiB) Προβλήθηκε 406 φορές

.
${x^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\left( { - \cos B} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{y^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\left( { - \cos C} \right)$ . προσθέτω κατά μέλη

${x^2} + {y^2} = 3{a^2} + 2a\left( {c \cdot \cos B + b \cdot \cos C} \right)$ .

Οπότε, ${x^2} + {y^2} = 3{a^2} + 2a\left( {\dfrac{{{c^2}}}{a} + \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right) = 5{a^2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Αύγ 09, 2025 9:45 pm Pithag 5.png
.
Στις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου σχεδιάζουμε εξωτερικά του από ένα τετράγωνο. Συνδέουμε τις κορυφές και τις , όπως στο σχήμα. Δείξτε ότι ισχύει

(Κάνει και για Junior.)

Με $EK \bot DB$ και $FL\bot GC$ και λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών ,τα τρίγωνα

ABC,BKE,CLF

είναι ίσα μεταξύ τους,οπότε BK=FL=c

και

Έτσι ,

και

.Άρα

: Παρά 5 Π.Θ.png (45.21 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Αύγ 09, 2025 9:45 pm Pithag 5.png
.
Στις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου σχεδιάζουμε εξωτερικά του από ένα τετράγωνο. Συνδέουμε τις κορυφές και τις , όπως στο σχήμα. Δείξτε ότι ισχύει

(Κάνει και για Junior.)

Κι αλλιώς..

Με $AN=//a \Rightarrow NE=//AB=//KD \Rightarrow KN=m$ και

$NF=//AC=//LG\Rightarrow NL=n$

Είναι επίσης γνωστό (και απλό ) ότι

είναι μέσον της KL=a

(

είναι ισοσκελές τραπέζιο )

άρα $AM= \dfrac{a}{2} \Rightarrow NM= \dfrac{3a}{2}$

Με θ.διαμέσου στο τρίγωνο NKL

εύκολα παίρνουμε τώρα m^2+n^2=5a^2

: Παρά 5 Π.Θ.png (37.37 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

Ιστοσελίδα · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Αύγ 09, 2025 9:45 pm
.
Στις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου σχεδιάζουμε εξωτερικά του από ένα τετράγωνο. Συνδέουμε τις κορυφές και τις , όπως στο σχήμα. Δείξτε ότι ισχύει

(Κάνει και για Junior.)

: shape.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές

Έστω

και $AM \bot BC$ με BM = x

. Από Vecten, Πυθαγόρειο και ομοιότητα θα ισχύει:

$D{E^2} = A{S^2} = {(a + x)^2} + x(a - x)$ και $F{G^2} = A{T^2} = {(2a - x)^2} + x(a - x)$

Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Αύγ 09, 2025 9:45 pm Pithag 5.png
.
Στις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου σχεδιάζουμε εξωτερικά του από ένα τετράγωνο. Συνδέουμε τις κορυφές και τις , όπως στο σχήμα. Δείξτε ότι ισχύει

(Κάνει και για Junior.)

Είναι γνωστό (θεώρημα Vecten) ότι οι AB, AC

διέρχονται από τα μέσα M, N

των

αντίστοιχα.

Με Π.Θ βρίσκω $\displaystyle B{M^2} = \frac{{D{E^2}}}{4} - {c^2},C{N^2} = \frac{{F{G^2}}}{4} - {b^2} \Rightarrow 4B{M^2} + 4C{N^2} = D{E^2} + F{G^2} - 4{a^2}$ (1)

: Πυθαγόρειο παρά 5.png (16.01 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές

Στη συνέχεια με θεώρημα διαμέσων στα BED, GCF

και πρόσθεση κατά μέλη παίρνω:

$\displaystyle 2b^2 + 2{c^2} + 4{a^2} = 4B{M^2} + 4C{N^2} + D{E^2} + F{G^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{DE^2+FG^2=5BC^2}$

Παρά 5 το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Παρά 5 το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Re: Παρά 5 το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Re: Παρά 5 το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Re: Παρά 5 το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Re: Παρά 5 το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Re: Παρά 5 το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Μέλη σε σύνδεση