Αντιλογία

KARKAR · #1

: Αντιλογία.png (17.15 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές

Το ένα από τα σημεία τομής των κύκλων (O,3)

και

, ονομάζουμε

. Να αχθούν

τέμνουσες SAP

και

, τέτοιες ώστε να προκύπτουν : $\dfrac{SA}{AP}=\dfrac{3}{4}$ και $\dfrac{TA}{AQ}=\dfrac{4}{3}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 28, 2025 5:55 am
Αντιλογία.pngΤο ένα από τα σημεία τομής των κύκλων και , ονομάζουμε . Να αχθούν

τέμνουσες και , τέτοιες ώστε να προκύπτουν : $\dfrac{SA}{AP}=\dfrac{3}{4}$ και $\dfrac{TA}{AQ}=\dfrac{4}{3}$ .

.
Πρόκειται για άσκηση που υπάρχει σε όλα τα παλιά βιβλία Γεωμετρίας, και μάλιστα σε γενικότερη μορφή. Επίσης την είδαμε πρόσφατα (με άλλα νούμερα, αλλά δεν αλλάζει η ουσία) στο εδώ φόρουμ. Βλέπε εδώ, ιδίως την τελευταία γραμμή στο ποστ #2.

KARKAR · #3

Σημειώσεις για τον λύτη που αναζητεί και άλλες λύσεις . Η πρώτη τέμνουσα που δίνει λόγο ίσο με τον λόγο

των ακτίνων , μπορεί να λυθεί και με απλούστερο τρόπο . Επίσης τέμνουσα που δίνει οποιονδήποτε λόγο

m:n

( εν προκειμένω 4:3

) , μπορεί επίσης να λυθεί και με άλλον τρόπο ( πιθανόν δυσκολότερο ) .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 28, 2025 11:01 am
Σημειώσεις για τον λύτη που αναζητεί και άλλες λύσεις . Η πρώτη τέμνουσα που δίνει λόγο ίσο με τον λόγο

των ακτίνων , μπορεί να λυθεί και με απλούστερο τρόπο . Επίσης τέμνουσα που δίνει οποιονδήποτε λόγο

( εν προκειμένω ) , μπορεί επίσης να λυθεί και με άλλον τρόπο ( πιθανόν δυσκολότερο ) .

.

: m dia n.png (7.37 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές

.
Πράγματι υπάρχουν πολλοί (και γνωστοί) τρόποι να χωρίσουμε ένα τμήμα (εδώ την διάκεντρο

) σε δοθέντα λόγο m:n

. Για χάρη των πρωτόπειρων μαθητών μας σκιαγραφώ δύο:

α) Ο ένας και γνωστότερος είναι να φέρουμε διατέμνουσα

και να πάρουμε σε αυτήν δύο τμήματα $OA=m, \, AB=n$ . Κατόπιν να φέρουμε την

και την παράλληλη σε αυτήν από το

.

β) Εξίσου απλός είναι να κατασκευάσουμε τρίγωνο ΟΚΑ

με πλευρές OK, ma, na

(κάποιο

), Κατόπιν να σχεδιάσουμε την διχοτόμο της

.

Οι κατασκευές αυτές δεν αναιρούν το σχόλιό μου ότι το εν λόγω πρόβλημα είναι κοινότατο. Μόνο τα νούμερα αλλάζουν.

KARKAR · #5

Παραθέτω χωρίς αιτιολογήσεις τις λύσεις που προτείνω για τις δύο περιπτώσεις :

: αντιλογία λύαη 1.png (18.19 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές

Πρώτη περίπτωση : Φέρω την κάθετη στην διχοτόμο της $\widehat{OAK}$ ...

: αντιλογία λύαη 2.png (20.09 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές

Δεύτερη περίπτωση : Προεκτείνω την

κατά τμήμα $AL=\dfrac{16}{3}$ . Η τομή του κύκλου

(L,LA)

με τον

, μου δίνει το σημείο

...

#6

.
Σωστά. Ας τονίσω όμως ότι επιβεβαιώνεις αυτό που γράφω, ότι δηλαδή οι κατασκευές που προτείνεις είναι οι κλασικές αλλά μόνο τα νούμερα αλλάζουν.

Ας το δούμε λεπτομερέστερα
.

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 28, 2025 9:13 pm
Πρώτη περίπτωση : Φέρω την κάθετη στην διχοτόμο της $\widehat{OAK}$ ...αντιλογία λύαη 2.png

.
Πρόκειται για την μέθοδο
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 28, 2025 3:23 pm
β) Εξίσου απλός είναι να κατασκευάσουμε τρίγωνο με πλευρές (κάποιο ), Κατόπιν να σχεδιάσουμε την διχοτόμο της .

.
διότι οι πλευρές είναι ακριβώς οι m,n

(δηλαδή

) που τυχαίνει να είναι ίσες με τις δοθείσες ακτίνες . Εδώ m=3=r

και

Επίσης, η μέθοδος
.

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 28, 2025 9:13 pm
Δεύτερη περίπτωση : Προεκτείνω την κατά τμήμα $AL=\dfrac{16}{3}$ . Η τομή του κύκλου
με τον , μου δίνει το σημείο ...

.
είναι η
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 28, 2025 3:23 pm
α) Ο ένας και γνωστότερος είναι να φέρουμε διατέμνουσα και να πάρουμε σε αυτήν δύο τμήματα $OA=m, \, AB=n$ . Κατόπιν να φέρουμε την και την παράλληλη σε αυτήν από το .

.
διότι στην διατέμνουσα

(που είναι η

στην δική μου) πήρες μήκη με πηλίκο $\dfrac {16}{3}: 4= 4:3=m:n$ , που είναι τα $OA=m, \, AB=n$ στην θέση των m:n

που πήρα.

Αντιλογία

Αντιλογία

Re: Αντιλογία

Re: Αντιλογία

Re: Αντιλογία

Re: Αντιλογία

Re: Αντιλογία

Μέλη σε σύνδεση