Για τη χθεσινή ημέρα ... του χρόνου

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\varphi$ ο χρυσός λόγος. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left( \varphi^3 - \varphi^{-3} \right) + \left( \varphi^9 - \varphi^{-9} \right) + \left( \varphi^{11} - \varphi^{-11} \right) = 279}$

Nikitas K. · #2

Παρατηρούμε ότι οι διαφορές εντός των παρενθέσεων του πρώτου μέλους της ζητούμενης ισότητας στην ουσία είναι αθροίσματα της μορφής

$\displaystyle {\varphi^n + \left(-\dfrac{1}{\varphi}\right)^n}$ όπου οι βάσεις των εκθετικών όρων αυτών των αθροισμάτων είναι οι ρίζες του τριωνύμου x^2 - x - 1

Εφαρμόζοντας το θεώρημα που βρίσκεται στο

με τίτλο «Αναδρομική ακολουθία και ρίζες δευτεροβάθμιας».

Προκύπτει ότι για κάθε θετικό φυσικό αριθμό

ισχύει $\displaystyle {\varphi^n + \left(-\dfrac{1}{\varphi}\right)^n = F_{n+1} + F_{n-1}}$ όπου

είναι η ακολουθία Φιμπονάτσι.

Αντικαθιστώντας στο πρώτο μέλος της ζητούμενης ισότητας έχουμε:

$(F_4 + F_2) + (F_{10} + F_8) + (F_{12} + F_{10}) = (3 + 1) + (55 + 21) + (144 + 55) =279$

Υ.Γ.
Ευχαριστώ τον κ. Μιχάλη Λ. που μου επισήμανε στο ποστ#5 το σημείο που είχα διατυπώσει λάθος, αλλά και για την επευφημία.

Κατά την επεξεργασία που έλαβε χώρα:
Τετ Οκτ 08, 2025 11:03 am έγινε άρση απόκρυψης κειμένου και προστέθηκε επεξηγηματικά η λύση.

Πέμ Οκτ 09, 2025 8:30 am αναδιατυπώθηκε η αρχική γενίκευση και η φράση «της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x^2 - x - 1 = 0

»
Προστέθηκαν εισαγωγικά στον τίτλο του θεωρήματος, η φράση «για κάθε θετικό φυσικό αριθμό

ισχύει» και ένα υστερόγραφο.

Κατά την τελευταία επεξεργασία (έγινε προσθήκη της λέξης «ουσία» στην αρχή του κειμένου και) ενημερώθηκε ο ορισμός της ακολουθίας Φιμπονάτσι, ώστε να είναι συμβατός με τη βιβλιογραφία, επομένως τροποποιήθηκαν οι δείκτες της ακολουθίας.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 07, 2025 7:07 pm
Έστω $\varphi$ ο χρυσός λόγος. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left( \varphi^3 - \varphi^{-3} \right) + \left( \varphi^9 - \varphi^{-9} \right) + \left( \varphi^{11} - \varphi^{-11} \right) = 279}$

$\displaystyle {\varphi ^3} - {\varphi ^{ - 3}} = {\varphi ^3} - {(\varphi - 1)^3} = (\varphi - \varphi + 1)\left( {{\varphi ^2} + \varphi (\varphi - 1) + {{(\varphi - 1)}^2}} \right) = 3{\varphi ^2} - 3\varphi + 1 = 4$

Με παρόμοιο (αλλά πολύ πιο εξοντωτικό

) τρόπο βρίσκω $\displaystyle {\varphi ^9} - {\varphi ^{ - 9}} = 76$ και $\displaystyle {\varphi ^{11}} - {\varphi ^{ - 11}} = 199$

Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει το αποδεικτέο.

#4

Υπάρχει και η ακολουθία (F_n)

του Fibonacci για την οποία $\displaystyle {\varphi ^n} - {(1 - \varphi )^n} = {F_n}\sqrt 5,$

αλλά δεν ξέρω αν εξυπηρετεί. Θα το εξετάσω αργότερα.

#5

Πολλή ωραία λύση, αλλά προσοχή το

Nikitas K. έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 08, 2025 2:19 am
Γενικά ισχύει ότι $\varphi^n - \varphi^{-n} = \varphi^n + \left(-\dfrac{1}{\varphi}\right)^n$

ισχύει μόνο για τα περιττά

. Ευτυχώς στα παρακάτω χρησιμοποιήθηκαν μόνο περιττά

. Βλέπε π.χ. το βήμα

$(F_5 + F_3) + (F_{11} + F_9) + (F_{13} + F_{11}) = (3 + 1) + (55 + 21) + (144 + 55) =279$ ,

οπότε η απόδειξη είναι ουσιαστικά ολόσωστη

add2math · #6

Έχουμε
$\phi^{2\nu+1}-\phi^{-2\nu-1}=\phi^{2\nu+1}-\frac{1}{\phi^{2\nu+1} }=(\phi-1/\phi)(\phi^{2\nu}+\phi^{2\nu-2}+⋯+1+⋯+\frac{1}{\phi^{2\nu-2}} +\frac{1}{\phi^{2\nu}}=$
$L_{2\nu}+L_{2\nu-2}+⋯L_2+1$
Όπου L_n

οι όροι της ακολουθίας Lucas https://en.wikipedia.org/wiki/Lucas_number
$L_{n}: = \left\{ \begin{matrix} 2 & \text{,\ }n = 0 \\ 1 & \text{,\ }n = 1 \\ L_{n - 1} + L_{n - 2} & \text{,\ }n > 1. \\ \end{matrix} \right.\ = \{ 2,\ 1,\ 3,\ 4,\ 7,\ 11,18,29,47,76,123,199,\ldots\}$
για τους οποίους ισχύει ότι $L_n=\phi^n+(-\phi)^{-n}$ .

Από τα παραπάνω έχουμε ότι:
$\phi^{3} - \phi^{- 3} = L_{2} + 1 = 3 + 1 = 4$
$\phi^{9} - \phi^{- 9} = L_{8} + L_{6} + L_{4} + L_{2} + 1 = 47 + 18 + 7 + 3 + 1 = 76$
$\phi^{11} - \phi^{- 11} = L_{10} + L_{8} + L_{6} + L_{4} + L_{2} + 1 = 123 + 47 + 18 + 7 + 3 + 1 = 199$

οπότε
$\left( \phi^{3} - \phi^{- 3} \right) + \left( \phi^{9} - \phi^{- 9} \right) + \left( \phi^{11} - \phi^{- 11} \right) = 4 + 76 + 199 = 279$

mathematica.gr

Για τη χθεσινή ημέρα ... του χρόνου

Για τη χθεσινή ημέρα ... του χρόνου

Re: Για τη χθεσινή ημέρα ... του χρόνου

Re: Για τη χθεσινή ημέρα ... του χρόνου

Re: Για τη χθεσινή ημέρα ... του χρόνου

Re: Για τη χθεσινή ημέρα ... του χρόνου

Re: Για τη χθεσινή ημέρα ... του χρόνου

Μέλη σε σύνδεση