Τέσσερις τριγωνομετρικοί αριθμοί σε αύξουσα σειρά

#1

Να αποδειχθούν οι ανισότητες

$\displaystyle{4 \tan 1^o < \tan 4^o< 3 \tan 2^o <2 \tan 3^o }$

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Σεπ 20, 2025 11:14 pm Να αποδειχθούν οι ανισότητες

$\displaystyle{4 \tan 1^o < \tan 4^o< 3 \tan 2^o <2 \tan 3^o }$

Εύκολα δείχνουμε με παραγώγιση για ότι γωνίες στο πρώτο τετραρτημόριο η $\dfrac {\tan x}{x}$ είναι γνήσια αύξουσα. Άρα

$\dfrac {\tan 1^o}{1} < \dfrac {\tan 4^o}{4}$ και $\dfrac {\tan 2^o}{2} < \dfrac {\tan 3^o}{3}$ .

Αυτές δίνουν την πρώτη και την τρίτη ανισότητα. Μένει η $\displaystyle{\tan 4^o< 3 \tan 2^o }$ , ισοδύναμα από τον τύπο της διπλής γωνίας

$\displaystyle{\dfrac {2\tan 2^o}{1-\tan ^2 2^o}< 3 \tan 2^o }$ .

Αλλά αυτή ισοδυναμεί με την $\displaystyle{\tan ^ {2} 2 ^ {o }< \dfrac {1}{3} }$ , που ισχύει με περίσσευμα αφού $\displaystyle{\tan ^{ 2} 2 ^ {o }< \tan ^{ 2} 30 ^ {o} = \dfrac {1}{3} }$ .

Τέσσερις τριγωνομετρικοί αριθμοί σε αύξουσα σειρά

Τέσσερις τριγωνομετρικοί αριθμοί σε αύξουσα σειρά

Re: Τέσσερις τριγωνομετρικοί αριθμοί σε αύξουσα σειρά

Μέλη σε σύνδεση