Ανάγωγο πολυώνυμο στους ακεραίους

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $a_{1},a_{2},.....a_{n},n\geq 5$ διαφορετικοί ανα δύο ακέραιοι.
Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο $P(x)=(x-a_{1})(x-a_{2}).....(x-a_{n})+1$ δεν μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο
δύο μη σταθερών πολυώνυμων με ακέραιους συντελεστές .
Τι γίνεται αν είναι n=2,3,4

;

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 08, 2025 9:55 pm
Εστω $a_{1},a_{2},.....a_{n},n\geq 5$ διαφορετικοί ανα δύο ακέραιοι.
Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο $P(x)=(x-a_{1})(x-a_{2}).....(x-a_{n})+1$ δεν μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο
δύο μη σταθερών πολυώνυμων με ακέραιους συντελεστές .
Τι γίνεται αν είναι ;

.
Πολλή ωραία άσκηση. Την κρατώ εντός ύλης Λυκείου αλλά προσθέτω ότι με ύλη ακεραίων πολυωνύμων γλιτώνουμε κάπως κόπο.

α) Για n=2

, το

υπάρχει περίπτωση να είναι γινόμενο ως άνω. Π.χ. είναι $P(x)=(x-1)(x+1)+1= x\cdot x$

β) Για n=4

, το

υπάρχει περίπτωση να είναι γινόμενο ως άνω. Π.χ. είναι

P(x)=(x-2)(x-1)x(x+1)+1= (x^2-x-1)^2

γ) Για

και για $n\ge 5$ τέτοια περίπτωση αποκλείεται. Το δείχνουμε χωριστά για

περιττό και

άρτιο.

γ1)

περιττό.

Έστω, πηγαίνοντας για αντίφαση, ότι $P(x) = (x-a_{1})(x-a_{2}).....(x-a_{n})+1 = A(x)B(x)$ όπου A,B

μη σταθερά πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές. Έστω ακόμη ότι οι βαθμοί τους είναι $M,N\ge 1$ με M+N=n

(περιττός).

Θέτοντας x=a_k

παίρνουμε

, και επειδή $A(a_k), \, B(a_k)$ ακέραιοι, έπεται $A(a_k)= \pm 1, \, B(a_k)=\pm 1$ . Με άλλα λόγια το A^2(x)-1=(A(x)-1)(A(x)+1)

έχει τουλάχιστον

διαφορετικές ρίζες (τις a_k

). Άρα ως προς τον βαθμό του έχουμε
$2M = deg(A^2-1)\ge n$ . Αλλά

περιττός οπότε (εδώ είναι το κλειδί), $2M\ge n+1$ .

Όμοια $2N\ge n+1$ , οπότε $2M+2N \ge 2n+2$ που αντιβαίνει στην M+N=n

.

Το άτοπο αυτό ολοκληρώνει τον συλλογισμό.

γ2) $n=2m\ge 6$ άρτιο.

Έστω όπως πριν ότι P(x) = A(x)B(x)

.

Θα είναι, όπως πριν, A(a_k)B(a_k) = 1

και άρα $A(a_k)= \pm 1, \, B(a_k)=\pm 1$ . Ακριβέστερα, επειδή το γινόμενό τους είναι

θα ισχύει, για κάθε

χωριστά, ότι

είτε A(a_k)= B(a_k)= 1

είτε

.

Και στις δύο περιπτώσεις είναι A(a_k)- B(a_k)= 0

, που σημαίνει ότι το A-B

έχει τουλάχιστον

διαφορετικές ρίζες.

Δεδομένου όμως ότι $deg (A-B) \le max(M,N) <n$ , έπεται ότι το A-B

είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή A=B

. Άρα

, και άρα το

έχει βαθμό $\dfrac {1}{2}n=m$ .

H (*) γράφεται ισοδύναμα Q(x)= (A(x)-1)(A(x)+1) (**)

όπου πήρα $Q=(x-a_{1})(x-a_{2}).....(x-a_{n})= P-1$

Επειδή κάθε ρίζα του

είναι ρίζα κάποιου (αλλά ενός μόνο) από τα $A\pm 1$ έπεται λόγω βαθμού, οι μισές ρίζες του

είναι ρίζες του A-1

και οι άλλες μισές του A+1

.

Από εδώ και πέρα και για τυπογραφική ευκολία να πάρω n=6

(δεν αλλάζει τίποτα στον συλλογισμό) οπότε γράφω π.χ. Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)(x-f)

.

Έπεται από την (**)

ότι χωρίς βλάβη

A(x)-1= (x-a)(x-b)(x-c)

και

.

ισοδύναμα $\boxed {(x-d)(x-e)(x-f)=(x-a)(x-b)(x-c) +2}$ (εννοείται ότι γενικά οι παράγοντες είναι n/2

το πλήθος).

Θα δούμε ότι αυτό είναι αδύνατο, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι το

γράφεται μόνο με έναν τρόπο ως γινόμενο τριών ή περισσότερων διαφορετικών ακεραίων, τον (-2)(-1)(1)=2

.

Το προηγούμενο για x=a,b,c

δίνει

.

Από αυτό έχουμε το ζητούμενο άτοπο γιατί δίνουν πάνω από έναν τρόπο για γινόμενο

(άμεσο από το γεγονός ότι τα a,... , f

είναι διαφορετικά ανά δύο οπότε χωρίς βλάβη στις παραστάσεις των A-1, A+1

μπορούμε να υποθέσουμε ότι a<b<c

και αντίστοιχα d<e<f

).

Τελειώσαμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 11, 2025 2:03 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 08, 2025 9:55 pm
Εστω $a_{1},a_{2},.....a_{n},n\geq 5$ διαφορετικοί ανα δύο ακέραιοι.
Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο $P(x)=(x-a_{1})(x-a_{2}).....(x-a_{n})+1$ δεν μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο
δύο μη σταθερών πολυώνυμων με ακέραιους συντελεστές .
Τι γίνεται αν είναι ;
.
Πολλή ωραία άσκηση. Την κρατώ εντός ύλης Λυκείου αλλά προσθέτω ότι με ύλη ακεραίων πολυωνύμων γλιτώνουμε κάπως κόπο.

α) Για , το υπάρχει περίπτωση να είναι γινόμενο ως άνω. Π.χ. είναι $P(x)=(x-1)(x+1)+1= x\cdot x$

β) Για , το υπάρχει περίπτωση να είναι γινόμενο ως άνω. Π.χ. είναι

γ) Για και για $n\ge 5$ τέτοια περίπτωση αποκλείεται. Το δείχνουμε χωριστά για περιττό και άρτιο.

γ1) περιττό.

Έστω, πηγαίνοντας για αντίφαση, ότι $P(x) = (x-a_{1})(x-a_{2}).....(x-a_{n})+1 = A(x)B(x)$ όπου μη σταθερά πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές. Έστω ακόμη ότι οι βαθμοί τους είναι $M,N\ge 1$ με (περιττός).

Θέτοντας παίρνουμε , και επειδή $A(a_k), \, B(a_k)$ ακέραιοι, έπεται $A(a_k)= \pm 1, \, B(a_k)=\pm 1$ . Με άλλα λόγια το έχει τουλάχιστον διαφορετικές ρίζες (τις ). Άρα ως προς τον βαθμό του έχουμε
$2M = deg(A^2-1)\ge n$ . Αλλά περιττός οπότε (εδώ είναι το κλειδί), $2M\ge n+1$ .

Όμοια $2N\ge n+1$ , οπότε $2M+2N \ge 2n+2$ που αντιβαίνει στην .

Το άτοπο αυτό ολοκληρώνει τον συλλογισμό.

γ2) $n=2m\ge 6$ άρτιο.

Έστω όπως πριν ότι .

Θα είναι, όπως πριν, και άρα $A(a_k)= \pm 1, \, B(a_k)=\pm 1$ . Ακριβέστερα, επειδή το γινόμενό τους είναι θα ισχύει, για κάθε χωριστά, ότι

είτε είτε .

Και στις δύο περιπτώσεις είναι , που σημαίνει ότι το έχει τουλάχιστον διαφορετικές ρίζες.

Δεδομένου όμως ότι $deg (A-B) \le max(M,N) <n$ , έπεται ότι το είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή . Άρα , και άρα το έχει βαθμό $\dfrac {1}{2}n=m$ .

H (*) γράφεται ισοδύναμα όπου πήρα $Q=(x-a_{1})(x-a_{2}).....(x-a_{n})= P-1$

Επειδή κάθε ρίζα του είναι ρίζα κάποιου (αλλά ενός μόνο) από τα $A\pm 1$ έπεται λόγω βαθμού, οι μισές ρίζες του είναι ρίζες του και οι άλλες μισές του .

Από εδώ και πέρα και για τυπογραφική ευκολία να πάρω (δεν αλλάζει τίποτα στον συλλογισμό) οπότε γράφω π.χ. .

Έπεται από την ότι χωρίς βλάβη

και .

ισοδύναμα $\boxed {(x-d)(x-e)(x-f)=(x-a)(x-b)(x-c) +2}$ (εννοείται ότι γενικά οι παράγοντες είναι το πλήθος).

Θα δούμε ότι αυτό είναι αδύνατο, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι το γράφεται μόνο με έναν τρόπο ως γινόμενο τριών ή περισσότερων διαφορετικών ακεραίων, τον .

Το προηγούμενο για δίνει

.

Από αυτό έχουμε το ζητούμενο άτοπο γιατί δίνουν πάνω από έναν τρόπο για γινόμενο (άμεσο από το γεγονός ότι τα είναι διαφορετικά ανά δύο οπότε χωρίς βλάβη στις παραστάσεις των μπορούμε να υποθέσουμε ότι και αντίστοιχα ).

Τελειώσαμε.

Το τελείωμα μπορεί να γίνει και ως εξής.
Έχουμε $A^2(x)=(x-a_{1})(x-a_{2}).....(x-a_{n})+1$
Αν υποθέσουμε ότι $a_{1}>a_{2}>......a_{n}$ και θέσουμε $x=\frac{a_{1}+a_{2}}{2}$ εύκολα βλέπουμε ότι το δεξιό μέλος είναι αρνητικό.
Να σημειώσω ότι τέτοιου είδους ασκήσεις ήταν θέματα για την είσαγωγή στο ΕΜΠ γύρω στο 1970.

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 11, 2025 6:53 pm
Το τελείωμα μπορεί να γίνει και ως εξής.
Έχουμε $A^2(x)=(x-a_{1})(x-a_{2}).....(x-a_{n})+1$
Αν υποθέσουμε ότι $a_{1}>a_{2}>......a_{n}$ και θέσουμε $x=\frac{a_{1}+a_{2}}{2}$ εύκολα βλέπουμε ότι το δεξιό μέλος είναι αρνητικό.
Να σημειώσω ότι τέτοιου είδους ασκήσεις ήταν θέματα για την είσαγωγή στο ΕΜΠ γύρω στο 1970.

Ωραίο το νέο τέλειωμα.

Απίστευτο ότι έμπαιναν στο ΕΜΠ τέτοια θέματα στις εισαγωγικές. Δεν έτυχε ποτέ να τα δω γιατί τέλειωσα το σχολείο την προηγούμενη χρονιά, φεύγοντας για το εξωτερικό. Όλο και μαθαίνω.

Ανάγωγο πολυώνυμο στους ακεραίους

Ανάγωγο πολυώνυμο στους ακεραίους

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο στους ακεραίους

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο στους ακεραίους

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο στους ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση