Σχέση μεταξύ εμβαδών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

και έστω

ο περιγεγραμμένος του κύκλος.
Οι εφαπτόμενες του

στα

σχηματίζουν το τρίγωνο $A_1B_{1}C_{1}$ .
Τα ύψη του τριγώνου τέμνουν τον

στα $A_2,B_{2},C_{2}$ .
Να δείξετε ότι $4(ABC)^2=(A_1B_{1}C_{1})(A_{2}B_{2}C_{2})$
( (ABC)

είναι το εμβαδό του τριγώνου).

Dimessi · #2

: Μέση ανάλογος το διπλάσιο εμβαδό!.png (24.7 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

Έχουμε $\displaystyle \angle C_{2}B_{2}A_{2}=\angle C_{2}CB+\angle A_{2}AB=180^\circ-2\angle B=\angle C_{1}B_{1}A_{1}$ και όμοια για τις κυκλικές της. Έπεται $\displaystyle \vartriangle A_{1}B_{1}C_{1} \sim \vartriangle A_{2}B_{2}C_{2}\Rightarrow \frac{\left ( A_{1}B_{1} C_{1}\right )}{\left ( A_{2}B_{2}C_{2} \right )}=\left ( \frac{C_{1}A_{1}}{C_{2}A_{2}} \right )^{2}{(1).$ Είναι $\displaystyle C_{1}A_{1}=\frac{c}{2\cos \angle C}+\frac{a}{2\cos \angle A}=\frac{c}{\frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{ab}}+\frac{a}{\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{bc}}=\frac{2b^{2}\cdot abc}{\left ( b^{2}-c^{2}+a^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )}\left ( \ast \right ).$ Παράλληλα, $\displaystyle C_{2}A_{2}=a\cdot \frac{\sin \left ( 180^\circ-2\angle B \right )}{\sin \angle A}=2a \cos \angle B\cdot \frac{\sin \angle B}{\sin \angle A}=\frac{2a\cdot \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\cdot b}{a}=\frac{b\left ( a^{2}+c^{2}-b^{2} \right )}{ac}$ $\displaystyle \overset{\left ( \ast \right )}\Rightarrow \frac{C_{1}A_{1}}{C_{2}A_{2}}=\frac{2a^{2}b^{2}c^{2}}{\left ( b^{2}-c^{2}+a^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2}-b^{2} \right )}(2).$ Ακόμα, $\displaystyle \frac{\left ( A_{2}B_{2}C_{2} \right )}{\left ( ABC \right )}\overset{R_{ ABC}=R_{A_{2}B_{2}C_{2}}}=\frac{C_{2}A_{2}\cdot B_{2}A_{2}\cdot B_{2}C_{2}}{abc}=\frac{\displaystyle \prod_{cyc}^{}\frac{b\left ( a^{2}+c^{2}-b^{2} \right )}{ac}}{abc}=\frac{\displaystyle \prod_{cyc}^{}\left ( a^{2}+c^{2}-b^{2} \right )}{a^{2}b^{2}c^{2}}$ $\displaystyle \overset{\left ( 2 \right )}=2\cdot \frac{C_{2}A_{2}}{C_{1}A_{1}}\left ( \ast \ast \right ).$ Τώρα, $\displaystyle \frac{\left ( A_{1}B_{1}C_{1} \right )}{\left ( ABC \right )}\overset{^{\left ( 1 \right )}_{\left ( \ast \ast \right )}}=\frac{2C_{1}A_{1}}{C_{2}A_{2}}\overset{\left ( \ast \ast \right )}=\frac{4\left ( ABC \right )}{\left ( A_{2}B_{2}C_{2} \right )}\Rightarrow \boxed{4\left ( ABC \right )^{2}=\left ( A_{1}B_{1}C_{1} \right )\cdot \left ( A_{2}B_{2}C_{2} \right )}.$

: Μέση ανάλογος το διπλάσιο εμβαδό!.png (24.7 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

Σχέση μεταξύ εμβαδών

Σχέση μεταξύ εμβαδών

Re: Σχέση μεταξύ εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση