Σχέση περιγεγραμμένων κύκλων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Σε ένα τρίγωνο ABC

το

είναι το έγκεντρο. Εστω $R_{1},R_2,R_3$ οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των
τριγώνων IBC,ICA,IAB

, και

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC

.
Να δειχθεί ότι
$R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}+\frac{R_1R_2R_3}{R}=4R^2$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Θα δώσω τη λύση που ήρθε στο μυαλό μου μόλις είδα το θέμα.

Στην παρακάτω δημοσίευση αποδείχθηκε ότι $\displaystyle R_{1}=2Rsin\frac{A}{2}, R_{2}=2Rsin\frac{B}{2} ,R_{3}=2Rsin\frac{C}{2}$
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 12&t=39230
Aυτό απλοποιεί πολύ την κατάσταση...
Αν αντικαταστήσουμε στο αριστερό μέλος της προς απόδειξη ισότητας και κάνουμε πράξεις έχουμε ότι

$\displaystyle R^{2}_{1}+R^{2}_{2}+R^{2}_{3}+\frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R}=4R^{2}\left ( sin^{2}\frac{A}{2}+sin^{2}\frac{B}{2}+sin^{2}\frac{C}{2}+2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2} \right )$

Από την παλιά, καλή και όμορφη Τριγωνομετρία γνωρίζουμε ότι $\displaystyle sin^{2}\frac{A}{2}+sin^{2}\frac{B}{2}+sin^{2}\frac{C}{2}+2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=1$

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη της ζητουμένης ισότητας.

Αν ζητηθεί η απόδειξη της ισότητας

$\displaystyle sin^{2}\frac{A}{2}+sin^{2}\frac{B}{2}+sin^{2}\frac{C}{2}+2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=1$ , είμαι πρόθυμος να τη γράψω.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 14, 2025 8:32 am
Σε ένα τρίγωνο το είναι το έγκεντρο. Εστω $R_{1},R_2,R_3$ οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των
τριγώνων , και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του .
Να δειχθεί ότι
$R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}+\frac{R_1R_2R_3}{R}=4R^2$

Με

την ημιπερίμετρο του τριγώνου και τους συνήθεις συμβολισμούς είναι:

r_a+r_b+r_c=4R+r, E=sr=r_a(s-r_a).

Είναι ακόμα $\displaystyle {R_1}^2 = {\left( {\frac{{I{I_a}}}{2}} \right)^2} = R({r_a} - r).$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle {R_1}^2 + {R_2}^2 + {R_3}^2 = R({r_a} + {r_b} + {r_c} - 3r) = R(4R + r - 3r) = 4{R^2} - 2Rr$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{{{R_1}{R_2}{R_3}}}{R} = \sqrt {R({r_a} - r)({r_b} - r)({r_c} - r)}.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{r}{{{r_a}}} = \frac{{s - a}}{s} \Leftrightarrow \frac{r}{{{r_a} - r}} = \frac{{s - a}}{a} \Leftrightarrow {r_a} - r = \frac{{ar}}{{s - a}}$

$\displaystyle \frac{{{R_1}{R_2}{R_3}}}{R} = \sqrt {R\frac{{abc{r^3}}}{{(s - a)(s - b)(s - c)}}} = \sqrt {\frac{{4{R^2} \cdot E{r^3} \cdot s}}{{{E^2}}}} = 2Rr$

Με πρόσθεση τώρα κατά μέλη, προκύπτει το ζητούμενο.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 14, 2025 1:39 pm

Αν ζητηθεί η απόδειξη της ισότητας

$\displaystyle sin^{2}\frac{A}{2}+sin^{2}\frac{B}{2}+sin^{2}\frac{C}{2}+2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=1$ , είμαι πρόθυμος να τη γράψω.

Aν και δεν μου ζητήθηκε η απόδειξη της ισότητας, θα τη γράψω για λόγους πληρότητας της λύσης μου.

Σε τρίγωνο ABC

ισχύει ότι

$\displaystyle A+B+C=\pi\Rightarrow A+B=\pi-C\Rightarrow$

$\displaystyle cos\left( A+B \right)=cos\left( \pi-C \right) \Rightarrow cos\left( A+B \right)=-cosC \Rightarrow$

$cosAcosB-sinAsinB=-cosC\Rightarrow cosAcosB+cosC=sinAsinB\Rightarrow$

$\left( cosAcosB+cosC \right)^{2}=sin^{2}Asin^{2}B\Rightarrow$

$cos^{2}Acos^{2}B+2cosAcosBcosC+cos^{2}C=sin^{2}Asin^{2}B\Rightarrow$

$cos^{2}Acos^{2}B+2cosAcosBcosC+cos^{2}C=\left( 1-cos^{2}A \right)\left( 1-cos^{2}B \right)\Rightarrow$

$cos^{2}Acos^{2}B+2cosAcosBcosC+cos^{2}C=1-cos^{2}A-cos^{2}B+cos^{2}Acos^{2}B\Rightarrow$

$cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C+2cosAcosBcosC=1$

Αν εφαρμοστεί η παραπάνω ταυτότητα στο τρίγωνο με γωνίες $\displaystyle\frac{A}{2}+\frac{B}{2},\frac{B}{2}+\frac{C}{2},\frac{C}{2}+\frac{A}{2}$ προκύπτει ότι

$\displaystyle cos^{2}\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2} \right)+cos^{2}\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2} \right)+cos^{2 }\left( \frac{C}{2}+\frac{A}{2} \right)-2cos\left( \frac{A}{2}+\frac{B}{2} \right)cos\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2} \right)cos\left(\frac{C}{2}+\frac{A}{2} \right)$

Mε χρήση των παραπληρωματικών γωνιών, η ισότητα αυτή δίνει την ζητούμενη ισότητα.

Σχέση περιγεγραμμένων κύκλων

Σχέση περιγεγραμμένων κύκλων

Re: Σχέση περιγεγραμμένων κύκλων

Re: Σχέση περιγεγραμμένων κύκλων

Re: Σχέση περιγεγραμμένων κύκλων

Μέλη σε σύνδεση