Παρόμοια

KARKAR · #1

: Παρόμοια.png (24.5 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές

Ο κύκλος

έχει το κέντρο του πάνω στον (O,R)

και τον τέμνει στα σημεία A , B

.

Ευθεία διερχόμενη από το

, τέμνει τον (O)

στο σημείο

και τον

στα

.

α) Βρείτε την θέση του

για την οποία τα τρίγωνα PTB , AKS

είναι όμοια .

β) Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{r}{R}$ , ώστε να είναι : (PTB)=2(AKS)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 29, 2025 6:45 am
Παρόμοια.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον και τον τέμνει στα σημεία .

Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τον στο σημείο και τον στα .

α) Βρείτε την θέση του για την οποία τα τρίγωνα είναι όμοια .

Για το α) ερώτημα.

Η εφαπτομένη του κύκλου (O)

στο

τέμνει τον (K)

στο

και η

επανατέμνει τον (K)

στο

και τον

στο

Θα δείξω ότι τα τρίγωνα PTB, AKS

είναι όμοια.

: Παρόμοια.Κ.png (20.21 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

Λόγω της εφαπτομένης, του ισοσκελούς τριγώνου AKS

και επειδή KA=KB

όλες οι κόκκινες γωνίες είναι

ίσες, έστω με $\theta.$ Άρα, AP=AS=AB,

οπότε $A\widehat BP=2\theta =A\widehat BT+T\widehat BP=\theta +T\widehat BP,$ απ' όπου

$T\widehat BP=\theta$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

#3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 29, 2025 6:45 am
Παρόμοια.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον και τον τέμνει στα σημεία .

Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τον στο σημείο και τον στα .

α) Βρείτε την θέση του για την οποία τα τρίγωνα είναι όμοια .

β) Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{r}{R}$ , ώστε να είναι : .

A)Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει τον κύκλο (K)

στο

.

Η ζητούμενη ευθεία είναι η

και τα τρίγωνα PTB,AKS

είναι όμοια

Πράγματι ,τότε έχουμε $\angle BTK= \angle AKT \Rightarrow \angle PTB= \angle AKS$ και

$TB \bot BS \Rightarrow AK \bot BS \Rightarrow \angle KAS= \angle KAB= \angle BPK$

B)Είναι , ZAKB

ισοσκελές τραπέζιο άρα ZA=AK=KB=r

κι επειδή

$\angle ASK= \angle KBA= \angle ZBP \Rightarrow PZ=r$ άρα PZAK

ισοσκελές τραπέζιο

Έτσι $ZA=//TK=r \Rightarrow ZAKT$ ρόμβος, άρα ZT=r

Επειδή $PB//AS \Rightarrow PB \bot AT$ κι αφού προφανώς AP=AS=AC

η

περνά από το

Τώρα, λόγω ισότητας των μπλε γωνιών ,το POTZ

είναι εγγράψιμμο κι από Πτολεμαίο παίρνουμε PT.R=Rr+R.ΟΤ(1)

Αλλά $OE.OL=OT.R \Rightarrow (R-r)(R+r)=OT.R \Rightarrow OT= \dfrac{R^2-r^2}{R}$ και τότε από την (1)

εύκολα παίρνουμε $PT= \dfrac{R^2-r^2}{R^2}.r$

$\dfrac{(PTB)}{(AKS)}= \dfrac{PT^2}{r^2}=2 \Rightarrow (2- ( \dfrac{r}{R})^2 )^2=2 \Rightarrow \dfrac{r}{R}= \sqrt{2- \sqrt{2} }$

: Παρόμοια.png (113.8 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 29, 2025 6:45 am
Παρόμοια.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον και τον τέμνει στα σημεία .

Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τον στο σημείο και τον στα .

α) Βρείτε την θέση του για την οποία τα τρίγωνα είναι όμοια .

β) Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{r}{R}$ , ώστε να είναι : .

α) Θεωρώ τα $\,$ $K\,\,,\,\,A$ σταθερά πάνω στον κύκλο $\left( {O,R} \right)$ , το

μεταβλητό στον ίδιο κύκλο και το πρόβλημα λυμένο

Αφού το $\vartriangle KAS$ ισοσκελές θα είναι και το $\vartriangle KPB$ ισοσκελές και τα τρίγωνα (ισοσκελή και όμοια ) μας αρκί να έχουν μια ομόλογη γωνία ίση .

Έτσι , $\widehat {\theta _1^{}} = \widehat {\theta _2^{}}$ .Αν

το μέσο του

, θα είναι η

μεσοκάθετη στο

, άρα θα διέρχεται από το

.

Αφού τώρα η

ανήκει στην μεσοκάθετο της χορδής ,

θα ισαπέχει από τα άκρα της , δηλαδή AP = AB

(σταθερό)

: Παρόμοια_new_a.png (38.8 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές

Εύκολα τώρα μπορούμε να δείξουμε ότι, $AS = AB\,\,\,( = AP)$ .

Ο κύκλος $\left( {A,AB} \right)$ τέμνει τον κύκλο $\left( O \right)$ στο

και τον κύκλο $\left( K \right)$ στο

.

β) τα όμοια τρίγωνα TPB

και

θα έχουν λόγο ομοιότητας $\dfrac{{TB}}{{KA}} = \sqrt 2$ και ζητώ να υπολογίσω το λόγο : $\dfrac{{KA}}{{AO}}$ .

Για να συμβεί όμως $\dfrac{{TB}}{{KA}} = \sqrt 2$ θα πρέπει το $\vartriangle BST$ ορθογώνιο στο

και

.

: Παρόμοια_οκ.png (43.29 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές

Τότε από το Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle OKB$ προκύπτει : $\boxed{\dfrac{r}{R} = \dfrac{{KB}}{{KO}} = \sqrt {2 - \sqrt 2 } }$

Παρόμοια

Παρόμοια

Re: Παρόμοια

Re: Παρόμοια

Re: Παρόμοια

Re: Παρόμοια

Μέλη σε σύνδεση