Απροσδόκητη σταθερότητα

KARKAR · #1

: Απροσδόκητη σταθερότητα.png (9.82 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές

Τα σημεία A , B

των πλευρών της γωνίας $\hat{S}$ είναι γνωστά αλλά η κορυφή

είναι άγνωστη .

Ονομάζω A' , B'

τις προβολές των σημείων A , B

, στις ημιευθείες SB , SA

, αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το άθροισμα γινομένων : $SA\cdot B'A+SB\cdot A'B$ , είναι σταθερό .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 03, 2025 12:53 pm
Απροσδόκητη σταθερότητα.pngΤα σημεία των πλευρών της γωνίας $\hat{S}$ είναι γνωστά αλλά η κορυφή είναι άγνωστη .

Ονομάζω τις προβολές των σημείων , στις ημιευθείες , αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το άθροισμα γινομένων : $SA\cdot B'A+SB\cdot A'B$ , είναι σταθερό .

.

: Απροσδ.png (17.49 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές

.
Φέρνουμε την

. Το σημείο τομής

των

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου SAB

. Έπεται τώρα από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα SAC, BAB'

(ή, αλλιώς, από την δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο SB'CB

) ότι

$SA\cdot B'A= AC\cdot AB$ . Όμοια

$SB\cdot A'B= BC\cdot AB$ .

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε

$SA\cdot B'A+SB\cdot A'B =(AC+BC)AB=AB^2=$ σταθερό. Εδώ, από τις συντεταγμένες, η σταθερά είναι

.

abgd · #3

: stathero.png (51.05 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

Από τις δυνάμεις των σημείων $\displaystyle{A,B}$ ως προς τους κύκλους $\displaystyle{C_A,C_S,C_B}$ είναι:

$\displaystyle{AS\cdot AB'=AH\cdot AA'=AS'\cdot AB}$ και $\displaystyle{BS\cdot BA'=BH\cdot BB'=BS'\cdot BA}$

Προσθέτοντας κατά μέλη: $\displaystyle{AS\cdot AB'+BS\cdot BA'= AS'\cdot AB+BS'\cdot BA=AB(AS'+BS')=AB^2=25}$ .

#4

abgd έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 03, 2025 5:14 pm
stathero.png

Από τις δυνάμεις των σημείων $\displaystyle{A,B}$ ως προς τους κύκλους $\displaystyle{C_A,C_S,C_B}$ είναι:

$\displaystyle{AS\cdot AB'=AH\cdot AA'=AS'\cdot AB}$ και $\displaystyle{BS\cdot BA'=BH\cdot BB'=BS'\cdot BA}$

Προσθέτοντας κατά μέλη: $\displaystyle{AS\cdot AB'+BS\cdot BA'= AS'\cdot AB+BS'\cdot BA=AB(AS'+BS')=AB^2=25}$ .

Σωστά, αλλά αν προσέξεις αυτή την απόδειξη έγαψα και μάλιστα με ένα βήμα λιγότερο. Π.χ. στην $\displaystyle{AS\cdot AB'=AH\cdot AA'=AS'\cdot AB}$ βγάζω (με τον ίδιο τρόπο) απευθείας την $\displaystyle{AS\cdot AB'=AS'\cdot AB}$ χωρίς την διαμεσολάβηση του μεσαίου όρου.

Απροσδόκητη σταθερότητα

Απροσδόκητη σταθερότητα

Re: Απροσδόκητη σταθερότητα

Re: Απροσδόκητη σταθερότητα

Re: Απροσδόκητη σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση